Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 03

[Metin Can Aydemir]

$m$ ve $n$ tam sayılar olmak üzere, $f(f(360)) = 0$ koşulunu sağlayan kaç tane $f(x) = x^2 + mx + n$ polinomu vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 48  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$f(360)$ bir tamsayı olduğundan polinomun kökleri tamsayıdır. Bu kökler $r_1,r_2$ olsun. Bu durumda $x^2+mx+n=(x-r_1)(x-r_2)$, yani $r_1+r_2=-m$ ve $r_1r_2=n$ olacaktır. Genelliği bozmadan $f(360)=r_1$ olsun. $$(360-r_1)(360-r_2)=r_1\implies 360-r_1\mid r_1\implies 360-r_1\mid 360$$ olacaktır. $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ olduğundan $48$ tamsayı böleni vardır ve $48$ olası $r_1$ değeri buluruz. Bunlardan bir $r_1$ seçersek, $r_2=360-\frac{r_1}{360-r_1}$ olduğundan tek bir $r_2$ değeri buluruz. Bu $r_1,r_2$ değerleri için $m$ ve $n$'yi tek şekilde bulabiliriz.

Resmi cevap anahtarı cevabı $D: 60$ olarak vermiş, bende mi hata var yoksa yayınlanan anahtar mı hatalı bilemedim.

Güncelleme: Resmi cevap anahtarında da doğru cevap $C$ olarak değiştirildi.