Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 23

[Metin Can Aydemir]

$x$, $y$, $z$ pozitif gerçek sayıları
\begin{align*}
\dfrac{y^2}{z} + \dfrac{zx + x^2}{2y + z} &= 2x \\
\dfrac{x^2}{z} + \dfrac{zy + 2y^2}{x + z} &= 9y \\
\dfrac{y^2}{x} + \dfrac{x^2}{y} &= 9z
\end{align*} denklem sistemini sağlıyorsa, $\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{23}{6} \qquad \textbf{b)}\ \dfrac{25}{6} \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{19}{4} \qquad \textbf{d)}\ 5 \qquad \textbf{e)}\ 7$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{D}$

$2.$ denklemi $xz$ ile genişleterek $x^3+\frac{xyz(z+2y)}{x+z}=9xyz$ , $3.$ denklemi $xy$ ile genişletip $y^3+x^3=9xyz$ olarak yazıp eşitlersek $y^3=\frac{xyz(z+2y)}{x+z}$ olur. İlk denklemi $yz$ ile genisletirsek $y^3+\frac{xyz(z+x)}{z+2y}=2xyz$ olur ve önceki eşitlikten, $x,y,z$ pozitif olduğundan $xyz$'ler sadeleştirilirse $\frac{z+2y}{x+z}+\frac{x+z}{z+2y}=2$ ve $x=2y$ gelir. $3.$ denklemde yerine koyarsak $z=\frac{y}{2}$ gelir. Buradan bizden istenen sonuç $5$ bulunur.

[Seyit Çetin]

23