Son basamak sıfırsa son iki basamak sıfırdır

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$x$  ve $y$  pozitif tam sayılar olmak üzere $x^2+xy+y^2$  sayısının son basamağı $0$  ise aslında sondan iki basamağının birden $0$  olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$x^2+xy+y^2\equiv 0\pmod 2$  ise $2\mid x$  ve $2\mid y$  olmalıdır. Dolayısıyla ifade $4$  ile tam bölünür. $25\mid x^2+xy+y^2$  olduğunu göstermek gerekiyor.

$x^2+xy+y^2\equiv 0\pmod 5$  olduğundan $(2x+y)^2+3y^2\equiv 0\pmod 5$  olur. Çarpımsal tersi almadan önce $5\mid y$  ve $5\mid x$  ise ifade $25$  e bölünür. Aksi türlü ise
$$\left(\dfrac{2x+y}{y}\right)^2\equiv -3\equiv 2\pmod 5$$
olmalıdır. Fakat
$$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^2-1}{8}}\Longrightarrow \left(\dfrac{2}{5}\right)=-1$$
olur ve dolayısıyla $-3$ , mod $5$  te karekalan değildir, çözüm yoktur. Sonuç olarak $25\mid x^2+xy+y^2$  olduğundan $100\mid x^2+xy+y^2$  olur ve sayının son iki basamağı birden $0$  elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Bu aynı zamanda 2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 İkinci Aşama sorusudur.