J,O, M doğrusallığı

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$AB<AC$  olan $ABC$  üçgeninin iç teğet çemberi $AB$  ve $BC$  ye sırasıyla $M$  ve $J$  doğrularında değmektedir. $D$  noktası $AB$  doğrusunun $B$  uzantısında $AD=AC$  olacak şekilde alınsın. $O$  noktası $CD$  nin orta noktası ise, $J-O-M$  doğrusallığını gösteriniz.

[geo]

$BDC$ üçgeninde $M, O,J$ noktaları için Menelaus uygulayalım.
$$\dfrac{BM}{MD}\dfrac{DO}{OC}\dfrac{CJ}{JB}=\dfrac{u-b}{(u-b)+(b-c)}\cdot 1\cdot \dfrac{u-c}{u-b}=1$$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\angle BIC=\dfrac{\pi+\angle BAC}{2}=\pi-\angle ADC$$
olduğundan $BICD$  çemberseldir. $J,O$  ve $M$  noktaları da $BDC$  üçgeninde Simson Teoremi'nden doğrusaldır.

[geo]

$ABC$ nin içteğet çemberinin merkezi $I$ olsun.
$A,I,O$ doğrusaldır.
$\angle IJC=\angle IOC = 90^\circ$ olduğu için $I,J,O,C$ çemberseldir. $\angle OJC = \angle OIC = \angle IAC + \angle ICA = \dfrac{\angle A + \angle C}{2} = \angle BJM$. Bu da $O, J, M$ doğrusal demektir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Elinize sağlık hocam, sanırım bir typo var: $\dfrac{\angle A+\angle C}{2}$  olmalı. Ayrıca $J$  noktasının $MDC$  üçgeninin Miquel Noktası oluşuyla da çözüme gidilebilir.