$\sqrt{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ ikilileri

[MATSEVER 27]

$\sqrt{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ tamsayı ikililerini bulunuz. $[\text{IMO 2014 Shortlist N2}]$

[AtakanCİCEK]

Sorunun orijinalinde küpkök soruluyordu sanırım bu soru daha sade çözüldü.

Bu soru $a=x+y$ ve $b=x-y$  değişken dönüşümlerini yapmamız durumunda ifadesel olarak sadeleşiyor. $a,b$ tam sayı ve $7x^2-13xy+7y^2\geq 0$ olduğunu not edelim.

$x^2+2xy+y^2=a^2$  ve $x^2-2xy+y^2=b^2$  olduğundan $x^2+y^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}$ ve $xy=\dfrac{a^2-b^2}{4}$ dönüşümlerini yapıp ifadenin karesini alalım.

Ayrıca eşitsizliğimiz $\dfrac{7}{2}.(a^2+b^2)-\dfrac{13}{4}.(a^2-b^2)\geq 0$  yani $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{27}{4}b^2\geq 0$ olur. Bu da daima doğrudur.

Denklemimiz de $$\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{27}{4}b^2=b^2+2|b|+1$$ yani $$a^2=-23b^2+8|b|+4$$ olur. $b=0$  bir çözümdür. Kalan durumlarda genelliği bozmadan $b>0$ alalım. Bu durumda

$a^2=-23b^2+8b+4=(-19b^2)+(2b+2)^2$ Buradan denklemin çözümü olabilmesi için $2b+2\geq \sqrt{19}b>4b$  yani $b<1$ olur.  Bu da bize çelişki verir. O halde denklemin tek çözümü $b=0$ dır. Buradan $a=2$ veya $a=-2$ gelir. $x=y$  olduğundan $2x=2$  yani $(1,1)$ ve $2x=-2$ yani $(-1,-1)$  çözümleri elde edilir. Denklemin başka çözümü yoktur.

[Metin Can Aydemir]

Denklem $x$ ve $y$'ye göre simetriktir. Dolayısıyla, genelliği bozmadan $x\geq y$ kabul edebiliriz. $x-y=a$ dersek, $$7x^2-13xy+7y^2=7(y+a)^2-13y(y+a)+7y^2=y^2+ay+7a^2$$ elde edilir. Dolayısıyla, $$y^2+ay+7a^2=(a+1)^2=a^2+2a+1$$ $$\implies y^2+ay+(6a^2-2a-1)=0$$ buluruz. Çözümü olması için diskriminantı negatif olmamalıdır. $$\Delta=a^2-4(6a^2-2a-1)=-23a^2+8a+4\geq 0$$ olacağından ve $a\geq 0$ olduğundan $a=0$ olmalıdır. Yerine yazarsak, $y^2=1$ elde edilir. Yani tüm çözümler $(x,y)=(1,1)$ ve $(-1,-1)$ olabilir. Yerine yazarsak, çözüm oldukları görülebilir.

[AtakanCİCEK]

Pozitif tam sayılar kümesinde

$$\sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=\mid x-y \mid +1$$ versiyonunu da çözelim. $a=x+y>0$  ve $b=x-y$ olacak şekilde $a,b$ tam sayıları vardır. Denklemin kübünü alırsak  $\dfrac{a^2+27b^2}{4}=|b|^3+3|b|^2+3|b|+1$ gelir. Buradan $b^2=|b|^2$  olduğundan yola çıkarsak

 $a^2=4|b|^3+-15|b|^2+12|b|+4=(|b|-2)^2(4|b|+1)$ yazılabilir. $4|b|+1$  tam kare olmalıdır ve bu ifade tek sayı olduğu için

$m\in Z$ için $4|b|+1=(2m+1)^2$ olacak şekilde $m$ tam sayısı bulunur. Buradan $|b|=m^2+m$  ve bu da bize yukarıdaki $a^2$ eşitliğinden $$a=±(|b|-2).(2m+1)=±(m-1)(m+2)(2m+1)$$ verir.  Öncelikle $a=-(m-1)(m+2)(2m+1)$ i inceleyelim 

$m>1$  için  $a$  negatif çıktığı görülebilir.

$m=1$ için $a=0$ gelir ve çelişki. 

$m=0$ için $a=2$  ve $|b|=0^2+0=0$ olur. $(1,1)$  çözümü gelir.

$m=-1$ için $a=-2$ gelir ve çelişki.

$m=-2$ için $a=0$  gelir. Çelişki.

 
Kalan durumlar için $-m-1=m'$ dönüşümü yapalım. $m'\geq 2$  olduğu barizdir ve   ifademiz  $a=(m'-1)(m'+2)(2m'+1)$  olur.

Benzer şekilde $a=(m-1)(m+2)(2m+1)$ i çözersek $m=-1$ için $a=2$ gelir. $m=-1$  ise $|b|=1-1=0$ yani $b=0$ olur. $(1,1)$  çözümü gelir. Ve geri kalan durumlarda üsttekine benzer şekilde $m\geq 2$ için $a=(m-1)(m+2)(2m+1)$ olduğu görülür.

Kalan durumlarda $b=0$  olmadığı barizdir ($m^2+m=0$  ise $m=0$ veya $m=-1$ diye) . $b$ nin işaretine göre geriye kalan çözümler $(x,y)$  ve $(y,x)$ şeklinde olacağından genelliği bozmadan $b> 0$ için çözersek

$x+y=(m-1)(m+2)(2m+1),x-y=m^2+m$ Buradan $(x,y)=(m^3+m^2-2m-1,m^3+2m^2-m-1)$  gelir.

 O halde denklemin tüm çözümleri $(x,y)=(1,1)$ veya $\{x,y\}=\{m^3+m^2-2m-1,m^3+2m^2-m-1\}$ , $m\in Z_{\geq 2}$ olarak bulunur.

Not: $\{x,y\}$ gösterimi $(x,y)$ ve $(y,x)$  çözümlerini birlikte kapsamaktadır.

Not2: Resmi çözümü de ekran görüntüsü olarak ekledim.