Kenarları tam sayı olan üçgende iç teğet çember

[geo]

Kenarları tam sayı olan $ABC$ üçgeninde $[AB]$ üzerinde $D$, $[AC]$ üzerinde $E$ noktası $DE$ iç teğet çembere teğet olacak şekilde alınıyor.
$|AD|=5$, $|AE|=6$, $|DE|=7$ ise $|BC|$ nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

[alpercay]

İç teğet çember $AB,AC,BC,DE$ kenarlarına sırasıyla $K,L,M,F$ noktalarında teğet  ve $|KB|=|BM|=m,  |LC|=|CM|=n$,  $|BC|=m+n$ olsun. Teğet özelliklerinden $|DF|=|DK|=4$  ve  $|EF|=|EL|=3$ olduğu kolayca görülür ve

$|AK|=|AL|=9$  dolayısıyla  $|AB|=9+m$ ve  $|AC|=9+n$ olur. $\triangle ADE$ üçgeninde kosinüs teoreminden $\cos\angle A=\dfrac15$ bulunur. $\triangle ABC$ üçgeninde kosinüs teoreminden ,$$(9+m)^2+(9+n)^2-2(9+m)(9+n)\cos\angle A=(m+n)^2$$    $$(9+m)^2+(9+n)^2-2(9+m)(9+n)\cdot\dfrac 15=(m+n)^2$$   $$m+n=\dfrac{mn}{6}-9$$   $$mn-6m-6n=54$$   $$mn-6m-6n+36=90$$   $$(m-6)(n-6)=90$$ olduğundan uygun $(m,n)$ ikilileri $(7,96),(8,51),(9,36),(11,24),(12,21),(15,16)$ ve  $$m+n=|BC|=\{103,59,45,35,33,31\}$$ olarak $6$ farklı değer alabilir.

[geo]

Farklı bir çözüm şöyle verilebilir:
Standart notasyonlarla $(u-a)r_a=ur=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}$

$ADE$ üçgeninin dış teğet çemberi ile $ABC$ nin iç teğet çemberi aynı olduğu için
$$\dfrac{9\cdot 4 \cdot 3}{2}=\dfrac{9mn}{9+m+n} \Longrightarrow 6m+6n+54=mn$$
$m(n-6)=6n+54=6n-36 + 90 \Longrightarrow m = 6 +\dfrac{90}{n-6}$ olduğu için $d(90)=12$ farklı $n$ değeri vardır. Farklı $m+n$ lerin sayısı ise $6$ dır