Bu soru Suudi Arabistan 2014 M.O sorusuymuş.
https://artofproblemsolving.com/community/c6t248f6h1455622_equation_in_integersBu sorunun ana fikri belirli bir noktadan sonra $x^2<2^x$ ve $y^5<5^y$ garantileneceği üzerinden kurgulanmış gibi duruyor. Öncelikle negatif tam sayı olamayacağını $2^x5^y$ teriminden kolayca görebiliriz. $x=0$ olsun. Bu durumda $5^y=2015$ mümkün değildir. $y=0$ olsun. Bu durumda $2^x=2015$ mümkün değildir. O halde $(x,y)$ pozitif tam sayı olmalıdır. Modüler analizle basitçe $xy\equiv 1\pmod 2$ yani $x,y$ tektir. Sonucunu da not edelim. Denklemin Sol tarafının büyük $x,y$ değerleri için daima negatif olacağını gösterebiliriz.
Buradann yola çıkarsak $\dfrac{2^x5^y}{x^2y^5}>1$ sağlanma koşulunu aradığımızı görebiliriz. $\frac{2^x}{x^2}$ ifadesinin $x\geq 3$ için daima artan olduğu ispatlanabilir (İfadeyi $f(x)$ olarak tanımlayıp $f(x+1)>f(x)$ ). Biz $x\geq 4$ alalım. Çünkü $2^4=4^2$ geliyor. Buradan $\dfrac{2^x5^y}{x^2y^5}\geq \dfrac{5^y}{y^5}$
$y\geq 3$ için $f(y+1)>f(y)$ sağlandığını gösterelim. $$\dfrac{f(y+1)}{f(y)}=\dfrac{5}{(1+\frac{1}{y})^5}>1$$ olduğunu görmeliyiz. yani $(1+\dfrac{1}{y})^5<5$ olmalı. $y$ değeri arttıkça içerideki $1+1/y$ nin azaldığı görülebilir ve $y=3$ için eşitsizliğin sağladığını görebiliriz. Bu nedenle $y\geq 3$ için ifade daima artandır (Tamsayılar kümesinde). $y=5$ için ifade de $1$ olduğuna göre $x\geq 3$ için $y\leq 5$ olmalıdır.
a) $y=1$ olsun. $x^2-5.2^x=2015+4x$ gelir. Sol tarafı $f(x)$ gibi düşünüp $f(x+1)-f(x)<0$ ı görelim. İfade $2x+1-5.(2^x)<0$ geldiğinden açıktır. Dolayısıyla bu denklemin çözümü olamaz.
b) $y=3$ olsun. $3^5x^2-5^3.2^x=2015+12x$ olur. $\frac{2^x}{x^2}>\frac{243}{125}$ in $x=7$ için sağlandığı görülebilir. Ve bu ifadenin daima artan olduğunu biliyoruz. O halde $x<7$ olmalıdır. Denklemi $5$ modunda analiz edersek $3x^2-2x\equiv 0 \pmod 5$ yani $x=4$ veya $x=5$ olabileceği görülebilir ($x$ tek olduğundan $4$ elenir.). Buradan ise sadece $x=5$ in denenirse denklemi sağladığını görürüz.
c) $y=5$ olsun. $5^5x^2-5^5.2^x=5^5(x^2-2^x)=2015+20x$ olur. $x\geq 5$ için $2^x>x^2$ garanti olduğu için $x=1$ veya $x=3$ olabilir. Bu bölümü $x\geq 3$ için çözdüğümüzden $x=3$ ise $5^5=2015+60$ sağlanmadığı görülebilir.
O halde denklemin $x\geq 3$ için tek çözümü $(5,3)$ olduğu görülür.
d) $x=1$ olsun. O halde $y^5-2.5^y=2015+4y$ olur. Denklemi mod $5$ altında analiz edersek ($y$ $5$ in katı değilse $y^4\equiv 1 \pmod 5$ Fermattan) $y\equiv 4y \pmod 5$ yani $y\equiv 0 \pmod 5$ gelir. Çelişki. O halde baştaki kabulümüzden dolayı $y$ $5$ in katı olmalı. Ve $\dfrac{2.5}{(1+1/y)^5}$ olduğundan. payda daima azalandır ve $y=3$ için ifade $1$ den büyük olduğundan $y\geq 3$ için çelişki gelir. O halde buradan çözüm gelmez.
Denklemin tek çözümü $(5,3)$ olarak bulunur.
