(k₂=1, N=5) Kesen Problemi

[geo]

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N=5)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 20^\circ$, $\angle ACB = c = 30^\circ$, $\angle BAC = a = 130^\circ$, $\angle ADC = d = 40^\circ$, $\angle BAD = a_1 =20^\circ $, $\angle CAD = a_2 = 110^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2 = 1 & 5.0 & (b = 20^\circ, c = 30^\circ, d = 40^\circ)  & k_2 = 1 \\
& 5.1 & (k_2 = 1, b=20^\circ, c = 30^\circ)  & a_1 = 20^\circ \\
& 5.2 & (k_2 = 1, a=130^\circ, d = 40^\circ)  & a_1 = 20^\circ \\
& 5.3 & (k_2 = 1, b=20^\circ, a_1 = 20^\circ)  & a_2 = 110^\circ  \\
& 5.4 & (k_2 = 1, b=20^\circ, a_2 = 110^\circ )  & a_1 = 20^\circ \text{ veya } a_1 = 10^\circ \\
& 5.5^* & (k_2 = 1, c=30^\circ, a_1 = 20^\circ)  & a_2 = 110^\circ \text{ veya } a_2 = ? \\
& 5.6 & (k_2 = 1, c=30^\circ, a_2 = 110^\circ)  & a_1 = 20^\circ \\
& 5.7 & (k_2 = 1, a_1=20^\circ , a_2 = 110^\circ)  & b = 20^\circ \\

\end{array}
$$

İlgili soruların çözümleri:

5.0
5.1
5.2
5.3
5.4 $\equiv$ 6.4
5.5
5.6
5.7

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 5.0) \equiv (b=20^\circ , c = 30^\circ, d = 40^\circ) \Longrightarrow k_2 = 1 $

Çözüm:

$\triangle ABC$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOB = 60^\circ$, $AB=AO=OB=OC$, $\angle AOC = 2\angle ABC = 40^\circ$ ve $\angle CBO = 40^\circ$ olacaktır.
$AD=BD$ ve $AO=BO$ olduğu için $\angle AOD = \angle ODB = 30^\circ$ olacaktır. $\angle CDO = 70^\circ$ ve $\angle DOC = 70^\circ$ olduğu için $CD = CO = AB$ olur.

Not:
$AB=AD$ olacak şekilde $BC$ üzerinde bir $D$ noktası alırsak, problem $(k_2=1, N = 6.0) \equiv (b=20^\circ , c = 40^\circ, d = 30^\circ) \Longrightarrow k_2 = 1$ problemine döner.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 5.1) \equiv (k_2 = 1, b=20^\circ , c = 30^\circ) \Longrightarrow a_1 = 20^\circ $

Çözüm:

$ABC$ üçgeninin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOB = 60^\circ$ ve $CD = AB=AO=OB=OC$ olacaktır.
$\angle AOC = 2\angle ABC = 40^\circ$, $\angle OCB = \angle OBC = 40^\circ$ ve $CD=OC$ olduğu için $\angle CDO = \angle COD = 70^\circ$ ve $\angle DOA = \angle DOB = 30^\circ$ olur. Bu durumda $\triangle DOA \cong \triangle DOB$ olacağı için $AD=BD$, dolayısıyla $a_1 = \angle BAD = 20^\circ$ olacaktır.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 5.3) \equiv (k_2=1, b=20^\circ , a_1 = 20^\circ) \Longrightarrow a_2 = 110^\circ $

Çözüm:



$\angle ADC = 40^\circ$.
$DC$ nin uzantısı üzerinde $\angle AEC = \angle ABD = 20^\circ$ olacak şekilde $E$ noktası alalım.
$\triangle AED$ üçgeninde $AE=CD$ sorusu $(k_2=1, N = 6.1) \equiv (k_2=1, b=20^\circ , c = 40^\circ) \Longrightarrow a_1 = 10^\circ$ sorusuna dönüşür. Orada yaptıklarımızı burada tekrarlayalım.

$AB=AE$ ve $\angle DAE = 120^\circ$ dir. $DA$ nın uzantısı üzerinde $AF=AE$ şeklinde $F$ noktası alıp $AFE$ eşkenar üçgenini oluşturalım.
$\angle AEC = 80^\circ$ dir.
$DE$ nin uzantısı üzerinde $FE=EG$ olacak şekilde $G$ noktası aldığımızda $\angle FDG = \angle FGD = 40^\circ$ olduğu için $FD=FG$. Ayrıca $CD=EG$ olduğu için de $FC=FE=CD$.
Bu durumda, $F$ noktası $\triangle ACE$ nin çevrel merkezidir. $\angle ACD = \dfrac {\angle AFE}{2} = 30^\circ$ ve $\angle CAD = 110^\circ$ olur.

[geo]

Problem: $(k_2=1, N = 5.6) \equiv (k_2=1, c=30^\circ , a_2 = 110^\circ) \Longrightarrow a_1 = 20^\circ $

Çözüm:



$\angle AEC = 20^\circ$ olacak şekilde $DC$ nin uzantısı üzerinde $E$ noktası alalım. $\angle DAE = 120^\circ$ dir. $DA$ uzantısı üzerinde $F$ noktasını $\triangle AFE$ eşkenar olacak şekilde alalım.
$\angle AFE = 2\angle ACD = 60^\circ$ ve $AF=FE$ olduğu için $\triangle ACE$ nin çevrel merkezi $F$ dir.
$\angle AFC = 2\angle AEC = 40^\circ$ ve $CD=FC=AF=FE=AE$, dolayısıyla $AB=AE$ ve $\angle ABD = \angle AEC = 20^\circ$.