Dik üçgen ve kesenler (120-30)

[geo]

$ABC$ dik üçgeninde $\angle C = 90^\circ$ dir. $AC$ kenarı üzerinde $\angle CBD=30^\circ$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $AB$ kenarı üzerinde $\angle BFC =120^\circ$ olacak şekilde $F$ noktası alınıyor. $CF$ ile $BD$, $E$ noktasında kesişmektedir. $CE=\dfrac{AB}2$ olduğunu gösteriniz.

[diktendik]

$(CEB)$'nin çevrel merkezi $M$ olsun. $CME$ eşkenarlığından yarıçap $|EC|$ kadardır. $BM\cap DC=T$ olsun. $|BT|=2|EC|$ olduğu açıktır. $\angle{ECB}=\alpha$ olsun. $\angle{EMB}=2\alpha$ olduğundan $\angle{CBM}=60^\circ-\alpha$ olur. $\angle{BEF}=30^\circ+\alpha$ olduğundan $\angle{DBS}=30^\circ-\alpha$ ve $\angle{ABC}=60^\circ-\alpha$ elde edilir. $ATB$ ikizkenardır. İspat biter.

[geo]

Bir önceki çözümü tersten işletelim.

$A$ nın $C$ ye göre simetriği $T$ olsun.
$\angle DEC = \angle FAD=\angle BTC$ olduğu için $B,E,C,T$ çemberseldir. $\angle BCT =90^\circ$ olduğu için bu çevrel çemberin merkezi $M$, $BT$ üzerindedir. $\angle EMC =2\angle EBC = 60^\circ$ ve $BM=MT=EM=MC=EC=AB/2$ olur.

[geo]

$D$ nin $C$ ye göre simetriği $D'$ olsun.
$BDD'$ eşkenar üçgendir.
$\angle DEC = \angle D'AB$ olduğu için $(AA)$ benzerliğinden $\triangle DEC \sim \triangle D'AB$.
$\dfrac{EC}{AB}=\dfrac{DC}{D'B}=\dfrac{DC}{DB}=\sin 30^\circ=\dfrac 12$

[geo]

$BD$ nin orta noktası $M$ olsun.
$\triangle CMD$ eşkenardır.
$\angle MEC=\angle DAB$ ve $\angle CME=\angle BDA=120^\circ$ olduğu için $(AA)$ benzerliğinden $\triangle MEC \sim \triangle DAB$.
$\dfrac{EC}{AB}=\dfrac{MC}{DB}=\dfrac 12$

[geo]

$AB$ nin orta noktası $M$ olsun.
$BD$ doğrusu $(ABC)$ çemberini $G$ de kessin.
$\angle CMG=60^\circ$ ve $AM=BM=CM=GM=CG$.
$\angle DEC = \angle BAC = \angle BGC$ olduğu için $CE=CG=AM=AB/2$