Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 26

[matematikolimpiyati]

Bir $n$ pozitif tam sayısı ile $180$ sayısının ortak pozitif bölenlerinin sayısı $6$'dır. Buna göre $n$ ile $180$'in en büyük ortak böleninin alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[emirhanys]

Yanıt:$\boxed{D}$

İfadelerin en büyük ortak böleni $p^{2}\cdot q$ veya $p^{5}$ biçiminde olur. ($p$ ve $q$ asal) Fakat $p^{5}$ olamaz çünkü $180$ sayısı üssü 5 olan bir asal bölen içermez. Bundan dolayı $p$'nin alabileceği iki değer $(2,3)$ vardır. $2$ aldığı durumda $3$ ve $5$ durumları, $3$ aldığı durumda ise $2$ ve $5$ durumları oluşur. Toplamda 4 farklı değer vardır.

[alpercay]

Yanıt:$\boxed{D}$

Sayıların obeblerinin pozitif bölen sayısı (pbs), sayıların ortak pozitif bölen sayısını verdiğinden Obeb$(n,180)$ sayısının pbs $=6$ olmalıdır dolayısıyla  $a,b,c$ asal sayılar olmak üzere pbs $=6$ olan sayılar $a^xb^yc^z$ şeklinde ifade edilebilir. Buna göre pbs $=6$ olduğundan $$(x+1)(y+1)(z+1)=6$$ yazılabilir. $6$ sayısının $2$ tane asal çarpanı olması $z=0$ eşitliğini gerektirir. Buna göre $x+1=2, y+1=3$  ise  $x=1, y=2$ ve dolayısıyla sayımız $ab^2$ formunda olur. $x+1=6$ durumunda  sayımız $a^5$ formatında olmalıdır fakat $180$ sayısının bu formatta bir asal çarpanı olmadığından bu mümkün değildir.

Sonuç olarak $180=2^2.3^2.5$ olduğundan en büyük ortak bölen  $2.3^2,3.2^2,5.2^2$ ve $5.3^2$  sayılarından biri olup $4$ farklı değeri vardır.