Cevap: $\boxed{A}$
$269$ asal bir sayıdır ve $4k+1$ formatında olduğundan $n^2+1\equiv 0\pmod{269}$ denkliğinin $269$ modunda iki çözümü vardır. Öncelikle $269=10^2+13^2$ olduğunu görelim. $$13^2+10^2\equiv 0\pmod{269}\implies (13\cdot 10^{-1})^2+1\equiv 0\pmod{269}$$ elde edilir., burada $10^{-1}$ sayısı, $10$'un $269$ moduna göre tersidir. Yani $n$ sayısı ya $13\cdot 10^{-1}$'a ya da $-13\cdot 10^{-1}$'a denktir. $$27\cdot 10\equiv 1\pmod{269}\implies 10^{-1}\equiv 27\pmod{269}$$ olacaktır. Dolayısıyla, $$n\equiv \pm 13\cdot 27\equiv 82,187\pmod{269}$$ bulunur. Yani en küçük $n$ pozitif tamsayısı $82$'dir ve rakamları toplamı $8+2=10$'dur.
Not: $4k+1$ formatındaki asalların iki tamkarenin toplamı olarak yazılabildiği bilinen bir gerçektir. Bu yüzden $p\mid n^2+1$ olan $n$ sayılarını bulmak için önce $p=a^2+b^2$ olarak yazmak işlemleri çok azaltacaktır, çünkü yukarıda da görüldüğü gibi tüm çözümler $n\equiv \pm ab^{-1}\pmod{p}$'dir.
