Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 13

[matematikolimpiyati]

$|AB|=50$, $|AC|=78$, $|BC|=112$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarının üzerinde $\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac59$ şartını sağlayan bir $D$ noktası alınıyor. $ABD$ üçgeninin çevrel merkezi ile $ACD$ üçgeninin ağırlık merkezi arasındaki uzaklık nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt{1961}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{1993}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{2001}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{2024}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{A}$

$|BD|=40$ ve $|DC|=72$ olduğu barizdir. Stewart teoremi veya sezgisel anlayışla $|AD|=30$ ve $\angle{ADB}=90^\circ$ olduğu anlaşılır. $ADB$ ve $BDC$ ücgenleri dik üçgen olduklarından çevrel merkez $[AB]$'nın orta noktası olur. Bu nokta $T$ olsun. Ağırlık merkezi $[BC]$'nın ortası $K$ olmak üzere $[DK]$ üzerinde $|DP|=26$ olmasını sağlayan $P$ noktasıdır. $2/3$'lük orandan ötürü $P$'den $DC$ ye inen dikme uzunluğu $10$ ve $T$'den $BC$' ye inen dikme uzunluğu $15$ dir. Yine $2/3$ oranından $P$'den $AD$'ye inen dikme uzunluğu $24$ ve $T$'den $BC$'ye inen dikmenin uzunluğu $20$ olduğundan $T$'den $BD$'ye inen dikmenin $P$'ye uzaklığı $44$ olur. Ayrıca demin bulduğumuz uzunluklardan $T$ ve $P$'nin $AD$'ye göre uzaklıklar farkı $5$ olur. Pisagordan $|TP|^2=44^2+5^2=1961$ ve $|TP|=\sqrt{1961}$ olur.

[erray]

Koordinat sisteminde $B(0,0)$, $C(112,0)$ olacak şekilde $B$ ve $C$ noktaları alırsak $A(40,30)$ noktası sorudaki koşulu sağlar. $D(40,0)$ olacağı için $\triangle ABD$ bir dik üçgen, dolayısıyla  $\triangle ABD$ nin çevrel çemberinin merkezi $[AB]$ nin orta noktası $O(20,15)$ olacaktır. $\triangle ACD$ nin ağırlık merkezi de (koordinatların toplamının üçte biri) $G(64,10)$ olur. $|OG| = \sqrt {(64-20)^2 + (10-15)^2} = \sqrt{44^2 + 25} = \sqrt {1961}$ elde edilir.