Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Her $x,y \in \mathbb R$ için
$$f(f(x)+y)=f(f(x)-y)+4f(x)y$$
şartını sağlayan tüm $f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Bulgaristan)

[ygzgndgn]

[Çözüm 1]

$\boxed{f\equiv 0}$ bir çözümdür. Bunun haricindeki çözümleri arayacağız. $f(x)=x^2+g(x)$ diyelim. Yerine yazarsak
$$g(f(x)+y)+(f(x)+y)^2=g(f(x)-y)+(f(x)-y)^2+4f(x)y\Rightarrow g(f(x)+y)=g(f(x)-y)$$ elde edilir. $x=x_0$ sabitlenirse $y$ tüm gerçel değerleri alır. Bu sebeple $g$ sabit olmalıdır. Buradan $c\in\mathbb{R}$ için $\boxed{f(x)=x^2+c}$ gelir.