JBMO Shortlist 2016 #A.1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$abc=8$ koşulunu sağlayan her $a,b,c$ pozitif reeli için


$$\dfrac{ab+4}{a+2}+\dfrac{bc+4}{b+2}+\dfrac{ca+4}{c+2}\geq 6$$


olduğunu gösteriniz.

[ygzgndgn]

[Çözüm 1]

$$\sum_{cyc} \frac{ab+4}{a+2}=\sum_{cyc} \frac{4c+8}{ac+2c}=\sum_{cyc} \frac{4(c+2)}{c(a+2)}\geq 3\cdot \sqrt[3]{\frac{4^3}{abc}}=6.$$ Kesri $c$ ile genişletip AGO yaptık.