JBMO Shortlist 2015 #A.5

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$x^2+y^2+z^2=3$ eşitliğini sağlayan tüm $x,y,z$ negatif olmayan reel sayıları için


$$\dfrac{x^2+yz}{x^2+yz+1}+\dfrac{y^2+zx}{y^2+zx+1}+\dfrac{z^2+xy}{z^2+xy+1}\leq 2$$


olduğunu gösteriniz.

[ygzgndgn]

$$\sum_{cyc} \frac{x^2+yz}{x^2+yz+1} \leq 2 \Leftrightarrow \sum_{cyc} \left(1-\frac{x^2+yz}{x^2+yz+1}\right) \geq 3-2=1 \Leftrightarrow \sum_{cyc} \left(\frac{1}{x^2+yz+1}\right) \geq 1$$ olmalıdır. Bergström (Faydalı Cauchy) eşitsizliğinden
$$\sum_{cyc} \frac{1}{x^2+yz+1} \geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3}=\frac{9}{xy+yz+zx+6}$$ gelir. Sağ taraf $1$'den büyükse ispat tamamlanır. $$\frac{9}{xy+yz+zx+6}\geq 1\Rightarrow 3\geq xy+yz+zx$$ sağlanır. Bu ifade ise koşulumuzdan doğrudur çünkü $x^2+y^2+z^2=3\geq xy+yz+zx$ sağlanır. İspat biter.