Orthonormal fonksiyonlar

[Metin Can Aydemir]

$\mathcal{C}[a,b]$, $[a,b]$ aralığında sürekli fonksiyonların kümesi olsun. $\mathcal{C}[a,b]$'da iç çarpımı şu şekilde tanımlayalım, $$\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx.$$ $f_1,f_2,\dots,f_N\in\mathcal{C}[a,b]$ fonksiyonları $$\langle f_i,f_j\rangle=\delta_{i,j}=\begin{cases}1&i=j,\\ 0&i\neq j\end{cases}$$ şartını sağlıyorsa $f_1,f_2,\dots,f_N$ fonksiyonlarına orthonormal denir.

Soru: $p_1,p_2,\dots, p_N\in\mathcal{C}[a,b]$ fonksiyonları orthonormal olsun. $g(x,s)=\sum\limits_{n=1}^{N}p_n(x)p_n(s)$ olarak tanımlayalım. Bu durumda herhangi bir $y\in\mathcal{C}[a,b]$ fonksiyonu için $$f(x)=y(x)-\int_{a}^{b}g(x,s)y(s)ds$$ fonksiyonunu tanımlarsak, her $n=1,2,\dots,N$ için $\langle f,p_n\rangle=0$ olacağını gösteriniz.

Örnek olarak $[0,2]$ aralığı için $p_n(x)=\sin{(n\pi x)}$ olarak alabilirsiniz.

[Metin Can Aydemir]

Verilen eşitlikte $g(x,s)=\sum\limits_{n=1}^Np_n(x)p_n(s)$ yazarsak, $$y(x)=f(x)+\sum_{n=1}^{N}p_n(x)\int_{a}^{b}p_n(s)y(s)\,ds$$ elde edilir. $A_n=\int_{a}^{b}p_n(s)y(s)\,ds$ yazalım. $A_n$ sadece $n$'ye bağlıdır, yani $(A_n)_{n=1}^{N}$ bir dizidir. Ayrıca $$A_n=\int_{a}^{b}p_n(s)y(s)\,ds=\int_{a}^{b}p_n(s)\left(f(s)+\sum_{m=1}^{N}A_mp_m(s)\right)\,ds$$ $$=\langle f,p_n\rangle+\sum_{m=1}^{N}A_m\int_{a}^{b}p_n(s)p_m(s)ds$$ $$=\langle f,p_n\rangle+\sum_{m=1}^{N}A_m\delta_{m,n}=\langle f,p_n\rangle+A_n$$ elde edilir. Dolayısıyla, $\langle f,p_n\rangle=0$ elde ederiz.