2012 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Kış Kampı Sınavı Soru 2

[geo]

$a>0, b>0$ ve $a+b=a\cdot b$ ise $S=\frac{a}{b^{2}+4}+\frac{b}{a^{2}+4}$ ifadesinin alabileceği en küçük değerin $1 / 2$ olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ab=a+b\geq 2\sqrt{ab}$ olduğundan $ab\geq 4$ olduğunu söyleyebiliriz
Verilen ifadeye Titu Eşitsizliğini uygulamaya çalışalım
$$\dfrac{a}{b^2+4}+\dfrac{b}{a^2+4}=\dfrac{a^2}{ab^2+4a}+\dfrac{b^2}{a^2b+4b}\overbrace{\geq}^{Titu} \dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)+4\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{ab+4}=\dfrac{ab}{ab+4}=1-\dfrac{4}{ab+4}\geq 1-\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$
elde edilir.