Başlamadan önce: Her ne kadar $h,f$ fonksiyonları tamsayılardan tamsayılara bir fonksiyon olarak verilse de $n=-1$ yazarsak, $h(-1)=h(-1)+1$ şeklinde bir çelişki elde edilir. Dolayısıyla tahminim sorunun orijinalinde, fonksiyonlar doğal sayılardan doğal sayılara tanımlanmıştır. Ben de o şekilde çözümü yapacağım.
Soruya dönelim.
Verilen eşitlikler ile tüm doğal sayılar için $f$ ve $h$ altında $n$'nin görüntüsü tek şekilde bulunabileceğinden, eşitlikleri sağlayan her fonksiyon, bu $f,h$ fonksiyonlarıyla aynıdır.
Eğer $n=(a_1a_2\dots,a_k)_2$ şeklinde yazarsak, iddiamız $h(n)=a_1+a_2+\cdots+a_k$ olduğudur. Gerçekten de bu haliyle $h(0)=0$, $$h(2n)=h((a_1a_2\dots,a_k0)_2)=a_1+a_2+\cdots+a_k=h(n)$$ $$h(2n+1)=h((a_1a_2\dots,a_k1)_2)=a_1+a_2+\cdots+a_k+1=h(n)+1$$ sağladığından $h$ fonksiyonu budur. Teknik olarak $0$'ların toplama etkisi olmadığından dolayı, $h(n)$'yi $n$'nin iki tabanındaki halindeki $1$'lerin sayısı olarak da tanımlayabiliriz.
$f$'i tahmin etmek daha zor ancak $f(2n)=f(n)+h(n)$ olmasından yola çıkarak $n=(a_k,a_{k-1},\dots,a_1,a_0)_2$ yazarsak, $$f(n)=h(n)+\sum_{a_i\neq 0}i$$ olacağını gösterelim. $f(0)=0$ olduğunu görmek kolaydır. $2n=(a_k,a_{k-1},\dots,a_1,a_00)_2$ ve $2n+1=(a_k,a_{k-1},\dots,a_1,a_01)_2$ olacağından $$f(2n)=h(2n)+\sum_{a_i\neq 0}(i+1)=h(2n)+h(n)+\sum_{a_i\neq 0}i=f(n)+h(2n)=f(n)+h(n)$$ $$f(2n+1)=h(2n+1)+\sum_{a_i\neq 0}(i+1)=1+h(2n)+\sum_{a_i\neq 0}(i+1)=f(2n)+1$$ olur. Dolayısıyla, $f$ fonksiyonu budur.
Eğer $f(n)=12$ ise $12-k$'yı $k$ farklı doğal sayının toplamı olarak yazmalıyız (burada $k=h(n)$ oluyor). $n>1000$ verildiğinden $n>512=2^{9}$ olur. Yani $\sum_{a_i\neq 0}i$ içerisinde en az $9$ vardır. En fazla da $11$ olabilir çünkü aksi taktirde $f(n)>12$ olur. Dolayısıyla $k$ en fazla $2$ olabilir, yoksa $\sum_{a_i\neq 0}i$ içerisindeki tüm terimler $9$'dan küçük olmalıdır.
$k=1$ ise $12-1$'i $1$ tane doğal sayı olarak yazmak demek $n=2^{11}$ olması demektir.
$k=2$ ise $12-2$'yi iki tane doğal sayının toplamı olarak yazmalıyız. En az bir tane $9$'dan büyük sayı içermesi gerektiğinden sadece $10+0$ ve $9+1$ işe yarar. Yani $n=2^{10}+1$ ve $2^{9}+2$ olabilir ancak $2^9+2<1000$ olduğundan aradığımız $n$ olamaz.
$n$ sadece $2^{11}=2048$ ve $2^{10}+1=1025$ olabilir.
