$a$'nın mertebesi $d$ olsun. $a\neq 1,p-1$ olduğundan $d>2$'dir. $a$'nın kuvvetlerinin oluşturduğu farklı kalanlar kümesi $1,a,a^2,\dots,a^{d-1}$ olduğundan $k=d$'dir. Genelliği bozmadan $a_1,a_2,\dots, a_k$ sırasının aritmetik diziyi oluşturan sıra olduğunu varsayabiliriz. Dolayısıyla, $m$ ortak fark ve "$\equiv$" ile $p$ modundaki denkliği göstermek üzere, $a_i\equiv a_1+(i-1)m$ olacaktır. Bu sayıları toplarsak, $$\sum_{i=1}^{k}a_i\equiv ka_1+m\sum_{i=1}^{k}(i-1)\equiv ka_1+\frac{mk(k-1)}{2}$$ $$\sum_{i=1}^{k}a_i\equiv\sum_{n=0}^{k-1}a^n\equiv \frac{a^k-1}{a-1}\equiv 0$$ olacaktır. $k\mid p-1$ olduğundan $(k,p)=1$'dir. Dolayısıyla, $$a_1+\frac{m(k-1)}{2}\equiv 0\implies a_1\equiv -\frac{m(k-1)}{2}$$ bulunur. Terimler $$\frac{-m(k-1)}{2},-\frac{m(k-3)}{2},\dots,\frac{m(k-1)}{2}$$ olur. Bu sayıların kareleri toplamı $k$'nın tek veya çift olması durumunda ayrı ayrı incelesek bile, $$\sum_{i=1}^{k}a_i^2\equiv \frac{m^2k(k-1)(k+1)}{12}$$ $$\sum_{i=1}^{k}a_i^2\equiv \sum_{n=0}^{k-1}a^{2n}\equiv \frac{a^{2k}-1}{a^2-1}\equiv 0$$ bulunur. $p\geq 5$ ve $(k,p)=1$ olduğundan $$m^2(k-1)(k+1)\equiv 0\pmod{p}$$ elde edilir.
Eğer $p\mid m$ ise $a_i$ terimlerinin hepsi $p$ modunda aynı olurdu, çelişki.
Eğer $p\mid k-1$ ise $k\geq 3$ olduğundan $k-1\geq p$ olurdu ancak bu da $p-1\geq k$ olması ile çelişir.
Dolayısıyla $p\mid k+1$ olmalıdır. Buradan $k+1\geq p$ bulunur. Ayrıca $k\mid p-1$ olduğundan $p\geq k+1$'dir. Buradan $\boxed{k=p-1}$ bulunur. Gerçekten de $a$'yı ilkel kök alırsak, ortak fark $1$ olan, $p-1$ uzunluğunda bir aritmetik dizi elde ederiz.
