Üçgen içerisinde P noktası, Model 14.1

[geo]

$ABC$ üçgeni içerisinde $\angle ABP = \angle PBC = \angle BCP = 6^\circ$ ve $\angle PCA = 12^\circ$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle BAP = 24^\circ$ olduğunu gösteriniz.

bkz. Model Üçgen
Çizim: https://output.jsbin.com/qamehin/1#6,6,6,12

[geo]

$[CA$ ışını üzerinde $PD=BP=CP$ olacak şekilde $D$ noktası alalım. $P$, $BCD$ üçgeninin çevrel merkezidir.
$\angle DPB = 2\angle ACB = 36^\circ$, $\angle PDB = \angle DBP = 72^\circ$, $\angle PDC = 12^\circ$ olacaktır.

$AD$ yi $DF=DE$ olacak şekilde uzatalım. $\angle DEP = \angle DPE = 6^\circ$ ve $\angle EPB = 30^\circ$ olacaktır.
$PB$ yi $DP=DF$ olacak şekilde uzatalım. $\angle DFP = \angle DPF = \angle FDB = 36^\circ$ ve $DB=FB$ olacaktır.
$\angle EDF = 180^\circ - \angle DFP - \angle PDA = 180^\circ - 108^\circ - 12^\circ = 60^\circ$.
Bu durumda ikizkenar $DEF$ üçgeni eşkenardır. $EF=ED$.
$EFBD$ bir deltoiddir. Bu durumda $BE$ köşegeni açıortay olup $\angle BED = 30^\circ$ ve $\angle BEP=24^\circ$ dir.
$\angle PEA = \angle ABP = 6^\circ$ olduğu için $AEBP$ dörtgeni kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla $\angle BAP = \angle BEP = 24^\circ$ olarak bulunur.