Tübitak Lise Takım Seçme 2023 Soru 6

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c,d$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $$\dfrac{(a^2+b^2+2c^2+3d^2)(2a^2+3b^2+6c^2+6d^2)}{(a+b)^2(c+d)^2}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Biraz incelendiğinde paydaki iki parantezin de içerisinde $6$'nın çarpanları var katsayılarının çarpmını $6$ olan teeimler gruplanabiliyor. Ayrıca minimum değer sorduğundan Cauchy-Schwarz'ın ters hali olabilir. İkinci denklemdeki terimleri dediğimiz gibi grup yapacak şekilde sıralayalım ve Ters Cauchy uygulayalım:

$$\dfrac{(a^2+b^2+2c^2+3d^2)(6d^2+6c^2+3a^2+2b^2)}{(a+b)^2(c+d)^2}\geq \dfrac{(\sqrt{6}ad+\sqrt{6}bc+\sqrt{6}ac+\sqrt{6}bd)^2}{(a+b)^2(c+d)^2}$$

$$=\dfrac{6(a+b)^2(c+d)^2}{(a+b)^2(c+d)^2}$$
$$=6$$
 elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Türkiye TST 2023 #6