Hiçbir asalı dışlamayan bir polinom bulduktan sonra, o polinomdan tek asalı dışlayan bulmak kolaydır. Örneğin, $P(x)$ polinomu hiçbir asalı dışlamasın ve rasyonel kökü olmasın. $p\not\mid P(0)$ olan bir asal için $Q(x)=P(px)$ polinomunu ele alırsak $p\neq q$ olan asallar için $x$ yerine $q$ modunda $p^{-1}y$ yazabileceğimizden $q$ asalı bu polinomda da dışlanmaz. Ancak $p\not\mid P(0)$ olduğundan $p$ asalı dışlanacaktır ve $\alpha$, $Q(x)$'in köküyse $p\alpha$ da $P(x)$'in kökü olacağından $Q(x)$'in rasyonel kökü bulunmayacaktır.
Direkt olarak $5.$ dereceden bir polinomu elde etmek zor olacağından $2.$ ve $3.$ dereceden iki polinom elde edip çarpmalıyız. İkinci dereceden olanlar için karekalanlığın devreye gireceği barizdir. $3.$ dereceden olanlar içinse küpkalan (cubic reciprocity) büyük olasılıkla karşımıza çıkacağından $3$ moduna göre asalları bölmek mantıklı olacaktır. Çünkü eğer $q\equiv 2\pmod{3}$ ise her $a$ için $$x^3\equiv a\pmod{q}$$ olacak şekilde bir $x$ vardır. $q=3n+2$ ise $x=a^{2n+1}$ alınarak bu denklik sağlanılabilir. Dolayısıyla $3.$ dereceden polinomu $x^3+2$ olarak seçebiliriz. Bu şekilde $3n+2$ modundaki asalları dışlamamış oluruz.
$2.$ dereceden kısım içinse $3n+1$ formatındaki asalları dışlamamamız gerekiyor. $\left(\frac{\cdot}{p}\right)$ ile Legendre sembolünü göstermek üzere, bunun için de her asal için $$\left(\frac{-3}{p}\right)\left(\frac{p}{3}\right)=1\implies \left(\frac{-3}{p}\right)=\left(\frac{p}{3}\right)$$ olmasını kullanabiliriz. Yani $-3$'ün karekalan olması için gerek ve yeterli şart $p\equiv 1\pmod{3}$ olmasıdır. Dolayısıyla $x^2+3$ polinomunu ele alırsak, bu polinom $3n+1$ formatındaki hiçbir asalı dışlamaz. Ayrıca $x=0$ için $3\mid x^2+3$ olacağından $3$'ü de dışlamaz.
Sonuç olarak $P(x)=(x^2+3)(x^3+2)$ polinomu rasyonel kökü olmayan ve hiçbir asalı dışlamayan bir $5.$ dereceden polinomdur. $p\neq 2,3$ için $P(px)$ alırsak, artık bu polinom sadece $p$'yi dışlayacaktır. Net bir örnek vermek gerekirse, $P(5x)=(25x^2+3)(125x^3+2)$ polinomu $5$ dışında hiçbir asalı dışlamaz.
