Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2023 Soru 2

[ygzgndgn]

Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $BAD$ ve $CAD$ üçgenlerinin iç teğet çember merkezleri sırasıyla $I$ ve $J$ olsun. $I$ noktasından geçen ve $BD$ doğrusuna dik olan ve $J$ noktasından geçen ve $AC$ doğrusuna dik olan doğrunun kesişim noktası $K$ olsun. $|KI|=|KJ|$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

İç açıortay özelliğinden $\angle AID = 90^\circ + \dfrac {\angle ABD} 2$, $\angle AJD = 90^\circ + \dfrac {\angle ACD}{2}$ ve kirişler dörtgeni özelliğinden $\angle ABD = \angle ACD$ olduğu için $\angle AID = \angle AJD$, yani $A, I, J, D$ noktaları çemberseldir.
Açıortaydan $\angle CAJ = \angle JAD$, çembersellikten $\angle JID = \angle JAD$, yani $$\angle CAJ = \angle JID \tag {1}$$
Benzer şekilde $$\angle BDI = \angle IDA = \angle IJA \tag{2}$$
Basit açı hesaplarıyla,
$$\angle KJI + \angle IJA = \angle AJK = 90^\circ - \angle CAJ  \Rightarrow \angle KJI = 90^\circ - \angle CAJ - \angle IJA \tag{3}$$
Benzer şekilde $$\angle KIJ + \angle JID = \angle DIK = 90^\circ - \angle BDI \Rightarrow \angle KIJ = 90^\circ - \angle JID - \angle BDI \tag{4}$$
$(1)$ ve $(2)$ deki eşitlikleri $(3)$ ve $(4)$ te yerine koyarsak $\angle KJI = \angle KIJ$, yani $KI = KJ$ olacaktır.