Birinci Yol: Aslında ispatlanmasını istediğim şey Lokman hocanın da belirttiği gibi üçüncü dereceden polinomların grafiğinin büküm noktasına göre simetrik olduğunu göstermekti. Bunun ispatı için $P''(a)=0$ olacak şekilde bir $a$ alalım ($a$, $P$'nin büküm noktasıdır). $P''$ birinci dereceden olduğundan böyle tek bir $a$ vardır. $Q(x)=P(x+a)-P(a)$ tanımlarsak, sadece $P$'nin grafiğini büküm noktası orijine denk gelecek şekilde kaydırmış oluruz, herhangi bir simetriklik bozulmayacaktır. $Q(0)=Q''(0)=0$ ve $Q$, üçüncü dereceden olduğundan $$Q''(x)=6Kx\implies Q'(x)=3Kx^2+L\implies Q(x)=Kx^3+Lx$$ formatında bulunur. Bu fonksiyon tek fonksiyon olduğundan orijine göre simetriktir. Dolayısıyla $P$ de büküm noktasına göre simetriktir. Dolayısıyla $P$'nin tepe ve çukur noktaları olan $A$ ve $B$ noktaları da $C$'ye göre simetrik olmalıdır.
İkinci Yol: Ekstremum noktalarının apsisleri $a<b$ olsun. $Q(x)=P(x+a)-P(a)$ dönüşümü uygulandığında $(a,P(a))$ noktası orijine taşınmış olur. Bu durumda grafik değişmeyeceğinden $Q(0)=Q'(0)=0$ olacaktır. $x=0$'da katlı kök vardır, iki farklı ekstremum olduğundan $Q$'nun $3$ kökü olmalıdır. Diğer kök de $x=\alpha$ olsun. Bu durumda $$Q(x)=x^2(x-\alpha)\implies Q'(x)=3x^2-2\alpha x$$ olmalıdır. Yani diğer ekstremum noktası da $\left(\frac{2\alpha}{3},\frac{4\alpha^2}{27}\right)$'dir. Ekstremumlardan geçen doğrunun denklemi $$y=\frac{\frac{4\alpha^3}{27}-0}{\frac{2\alpha}{3}-0}x=\frac{2\alpha^2}{9}x$$ olacaktır. Bu doğrunun $Q$ ile kesiştiği nokta da $C$'nin taşındığı nokta olacaktır. $$Q(x)=\frac{2\alpha^2}{9}x\implies x\left(x-\frac{\alpha}{3}\right)\left(x-\frac{2\alpha}{3}\right)=0$$ Burada $x=0$ ve $x=\frac{2\alpha}{3}$ apsisleri ekstremum noktalarının apsisleridir. $C$'nin taşındığı noktanın apsisi $x=\frac{\alpha}{3}$ olmalıdır. Bu da diğer iki noktanın orta noktası olduğundan $\dfrac{|AC|}{|BC|}=1$ olmalıdır.
