IMO Longlist 1992 #21 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$x,y,z>1$ reeller olmak üzere $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$ ise


$$\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bu problem aynı zamanda İran 3. Aşama 1997 #3.4'te de sorulmuştur. Çözüme geçelim

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$$
$$\Rightarrow \dfrac{x-1}{x}+\dfrac{y-1}{y}+\dfrac{z-1}{z}=1$$
Soruda $x,y,z>1$ verilmiş. Aslında bu bize Cauchy uygulamamız gerektiğine bir işaret, uygulayalım.
$$\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{y-1}{y}+\dfrac{z-1}{z}\right)\geq \left(\sqrt{x\dfrac{x-1}{x}}+\sqrt{y\dfrac{y-1}{y}}+\sqrt{z\dfrac{z-1}{z}}\right)^2=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^2$$
olduğundan
$$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}\sqrt{\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{y-1}{y}+\dfrac{z-1}{z}}=\sqrt{x+y+z}$$
elde edilir.