Genelleştirilmiş Türkiye EGMO TST 2014 #4

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},k$ pozitif reeller ($k\geq 1$) olmak üzere $\sum_{cyc}{x_{1}}\geq \sum_{cyc}{x_{1}^2}$ ise


$$\sum_{cyc}{\dfrac{x_{1}^{k}+2k-1}{x_{1}^3+1}}\geq kn$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$x_{1}^{k}+2k-1=x_{1}^{k}+\overbrace{1+1+\cdots +1}^{k-1} +k\overbrace{\geq}^{AGO} kx+k=k\left(x+1\right)$$
$$\sum_{cyc}{\dfrac{x_{1}^{k}+2k-1}{x_{1}^3+1}}\geq \sum_{cyc}{\dfrac{k\left(x_{1}+1\right)}{\left(x_{1}+1\right)\left(x_{1}^2-x_{1}+1\right)}}=k\sum_{cyc}{\dfrac{1}{x_{1}^2-x_{1}+1}}$$
$$\overbrace{\geq}^{Titu} k\dfrac{n^2}{\sum_{cyc}{x_{1}^2}-\left(\sum_{cyc}{x_{1}}\right)+n}\geq kn$$
elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$n=3,k=2$$
verildiğinde problem Türkiye EGMO TST 2014 #4'e dönüşür.
Aslında pay için kullandığımız adım bana Genelleştirilmiş Makedonya #2'yi anımsatıyor. O soruda da bu probleme benzer birşey kullanılmıştı.