Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2008 #A.5 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ pozitif reeller olmak üzere $\prod{a_1}=1$ ve
$$\sum_{cyc}{a_{1}}> \sum_{cyc-j}{\dfrac{a_{j}}{a_{j+1}}}$$
ifadeleri sağlanıyorsa

$$\sum_{cyc}{a_1}< \sum_{cyc-j}{a_{j}^2a_{j+1}a_{j+2}}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$n=2$$
verildiğinde soruda verilen ifadeler IMO Shortlist 2008 #A.5'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problemde verilen eşitsizliği uygularsak ve sonrasında da Cauchy kullanırsak
$$\left(\sum_{cyc}{a_1}\right)\left(\sum_{cyc-i}{a_ia_{i+1}}\right)> \left(\sum_{cyc-j}{\dfrac{a_j}{a_{j+1}}}\right)\left(\sum_{cyc-i}{a_ia_{i+1}}\right)=\left(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_1}\right)\left(a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_1\right)\overbrace{\geq}^{AGO} \left(\sum_{cyc}{a_1}\right)^2$$
elde ederiz. Bundan dolayı aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz
$$\sum_{cyc-i}{a_ia_{i+1}}> \sum_{cyc}{a_1}$$
Şimdi asıl göstermek istediğimiz yere gelecek olursak
$$\sum_{cyc-j}{a_j^2a_{j+1}a_{j+2}}>\sum_{cyc-i}{a_ia_{i+1}}>\sum_{cyc}{a_{1}}$$
olduğunu ispatlasak yeter. Gruplayıp Aritmetik-Geometrik Ortalama kullanarak gösterelim.
$$\sum_{cyc-j}{\dfrac{a_j}{a_{j+1}}}+\sum_{cyc-j}{a_j^2a_{j+1}a_{j+2}}=\left(\dfrac{a_1}{a_2}+a_n^2a_1a_2\right)+\left(\dfrac{a_2}{a_3}+a_1^2a_2a_3\right)+\cdots+\left(\dfrac{a_n}{a_1}+a_{n-1}^2a_na_1\right)\overbrace{\geq}^{AGO} 2\left(\sum_{cyc-i}{a_ia_{i+1}}\right)$$
$$> \sum_{cyc-i}{a_ia_{i+1}}+\sum_{cyc}{a_1}>\sum_{cyc-i}{a_ia_{i+1}}+\sum_{cyc-j}{\dfrac{a_j}{a_{j+1}}}$$
Sondaki ifade ise yukarıda problemden çıkarttığımız eşitsizlikten doğrudur. Bu son ifade ile
$$\sum_{cyc-j}{\dfrac{a_j}{a_{j+1}}}+\sum_{cyc-j}{a_j^2a_{j+1}a_{j+2}}> \sum_{cyc-i}{a_ia_{i+1}}+\sum_{cyc-j}{\dfrac{a_j}{a_{j+1}}}\Rightarrow \sum_{cyc-j}{a_j^2a_{j+1}a_{j+2}}>\sum_{cyc-i}{a_ia_{i+1}}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.