Her $n \geq 3$ için $3^n >2^n + 2n^2$ {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Her $n \geq 3$ tam sayısı için $3^n >2^n + 2n^2$ olduğunu tümevarım yöntemi ile ispatlayınız.

[Metin Can Aydemir]

$n=3$ için eşitsizlik doğrudur. $k\geq 3$ için $n=3,\dots,k$ için doğru olduğunu varsayalım. $$3^{k+1}=3\cdot 3^k>3(2^k+2k^2)$$ olduğundan eğer $3\cdot 2^k+6k^2\geq 2^{k+1}+2(k+1)^2$ olduğunu gösterirsek $n=k+1$ için de eşitsizliğin doğru olduğunu göstermiş oluruz ve tümevarımdan soru biter. $$3\cdot 2^{k}+6k^2\geq 2^{k+1}+(2k^2+4k+2)\iff 2^{k}\geq -4k^2+4k+2$$ olur. $k\geq 3$ olduğundan $0>-4k^2+4k+2$ olacaktır. Buradan $2^k>0>-4k^2+4k+2$ elde edilir. Dolayısıyla iddiamız doğrudur ve tümevarımdan $3^n>2^n+2n^2$ elde edilir.