EŞİTSİZLİK 169

[MATSEVER 27]

Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizliğin doğru olduğunu gösteriniz.
$$\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{c^2+a^2}{c+ a}\leq\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$$

[MATSEVER 27]

$\sum  \dfrac{b^2+c^2}{b+c}\geq \sum \dfrac{(b+c)^2}{2}$ olduğunu biliyoruz. Ancak $\sum \dfrac{b+c}{2} \leq \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$ ise ispat bitmez çünkü;
$$\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} \ge \sum  \dfrac{b^2+c^2}{b+c}\geq \sum \dfrac{b+c}{2}$$
idir. O zaman bunu ispatlamak yeterli olmayacaktır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Eşitsizliğin homojen olduğu sorunun çözümünde rol oynayabilir. Homojenliğe bağlı olarak $a+b+c$ veya $a^2+b^2+c^2$ ye istediğimiz bir değeri verebiliriz.