Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 32

[matematikolimpiyati]

$32 \times 31$ bir tahtanın tüm birim karelerine farklı birer gerçel sayı yazılmıştır. Bir birim karedeki sayı, bu birim kareyle en az bir ortak köşe paylaşan birim karelerdeki sayıların en fazla birinden küçükse bu birim kareye özel birim kare diyelim. Özel birim kare sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 480  \qquad\textbf{b)}\ 488  \qquad\textbf{c)}\ 496  \qquad\textbf{d)}\ 505  \qquad\textbf{e)}\ 512$

[muuurat]

31 adet sütunun çift numaralı sütunları toplam 15 sütun 32.15=480 hane 1 den 480 e kadar numaralandırıldıktan sonra tek numaralı sütunlar yukarıdan aşağı veya aşağıdan yukarı ardışık olarak 481 den 992 ye kadar numaralandırılırsa toplam 992- 480= 512 hane özel birim kare olur.

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Cevap: $512$.
Birim karelerden oluşan her $2 \times 2$ karede en fazla iki özel birim kare olabilir. $32 \times 30$ tahtayı, herhangi ikisinin ortak birim karesi bulunmayan $16 \cdot 15=240$ tane $2 \times 2$ kareye ayıralım. Buna göre, en sağ sütun hariç tahtanın üzerinde en fazla $2 \cdot 16 \cdot 15=480$ tane ve bütün tahtanın üzerinde en fazla $480+32=512$ özel birim kare olabilir. Şimdi de $512$ özel birim kare için bir örnek verelim. Tahtanın sütunlarını soldan sağa doğru numaralandıralım ve tek numaralı sütunların birim karelerine aşağıdan yukarıya doğru artan sırayla pozitif sayılar, kalan birim karelerin hepsine negatif sayılar yazalım. Bu durumda üzerinde pozitif sayı yazan $32 \cdot 16=512$ birim karenin her biri özel olur.

Kaynak: Tübitak 31. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2023