Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 16

[matematikolimpiyati]

$7$ kişilik bir grup içinde bazı tokalaşmalar olmuştur. Tam olarak $1$ kişiyle tokalaşan kişi sayısı $1$, tam olarak $2$ kişiyle tokalaşan kişi sayısı $2$ ve tam olarak $3$ kişi ile tokalaşan kişi sayısı $3$'tür. Buna göre, toplam tokalaşma sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Kişileri bir düzlemde $7$ nokta ile gösterelim. Bu kişilerden tokalaşanları ise birleştirelim. Bir graf elde etmiş olacağız. Verilen bilgiden $1$ kişinin derecesi (yaptığı bağlantı sayısı) $1$, $2$ kişinin $2$ ve $3$ kişinin $3$ olduğunu biliyoruz. Bilinmeyen $7.$ noktanın derecesi de $d$ olsun. Her tokalaşmada $2$ kişi yer aldığından derecelerin toplamı çift olacaktır. Buradan $$1+2+2+3+3+3+d=14+d\equiv 0\pmod{2}\implies 2\mid d$$ elde edilir. Ayrıca $d\neq 1,2,3$ olduğundan $d=0,4,6$ olabilir. Dolayısıyla toplam tokalaşma sayısı $\frac{14+d}{2}$ de $7,9,10$ olabilir.

Şimdi bu $d$ değerleri için örnek verelim. Kişiler $A,B,C,D,E,F,G$ olsun. Tokalaşanları $\leftrightarrow$ ile gösterelim,

$d=0$ için $$A\leftrightarrow B, \quad B\leftrightarrow C, \quad B\leftrightarrow D, \quad C\leftrightarrow D, \quad C\leftrightarrow F, \quad D\leftrightarrow E, \quad E\leftrightarrow F$$ şeklinde tokalaşmalar olursa, $A$, $1$ kişi ile $E,F$, $2$ kişiyle $B,C,D$, $3$ kişiyle ve $G$ ise $0$ kişiyle tokalaşmış olur.

$d=4$ için $$A\leftrightarrow G, \quad B\leftrightarrow C, \quad B\leftrightarrow D, \quad B\leftrightarrow G, \quad C\leftrightarrow D, \quad C\leftrightarrow F, \quad D\leftrightarrow E, \quad G\leftrightarrow E, \quad G\leftrightarrow F$$ şeklinde tokalaşmalar olursa, $A$, $1$ kişi ile $E,F$, $2$ kişiyle $B,C,D$, $3$ kişiyle ve $G$ ise $4$ kişiyle tokalaşmış olur.

$d=6$ için $$A\leftrightarrow G, \quad B\leftrightarrow C, \quad B\leftrightarrow D, \quad B\leftrightarrow G, \quad C\leftrightarrow G,\quad D\leftrightarrow G, \quad C\leftrightarrow F, \quad D\leftrightarrow E, \quad G\leftrightarrow E, \quad G\leftrightarrow F$$ şeklinde tokalaşmalar olursa, $A$, $1$ kişi ile $E,F$, $2$ kişiyle $B,C,D$, $3$ kişiyle ve $G$ ise $6$ kişiyle tokalaşmış olur.

Dolayısıyla toplam tokalaşma sayısı $7,9,10$ olabilir.

[geo]

Cevap: $3$.
Bu $1+2+3=6$ kişi dışındaki kişinin tokalaştığı kişi sayısı $k$ olsun. Toplam tokalaşma sayısının $2$ katı $1+2+2+3+3+3+k=14+k$ olacağı için $k$ çift olmalı. Ayrıca $k \neq 2$ olduğu için $k$ 'nin alabileceği değerler $0$,$4$ ve $6$'dır. Bu durumların her biri mümkündür ve toplam tokalaşma sayısı $7$,$9$ ve $10$ olabilir.

Kaynak: Tübitak 31. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2023