Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 11

[matematikolimpiyati]

$a_1,a_2,...,a_{31}$ dizisi $a_1=\dfrac{1}{31}$ ve her $n=1,2,...,30$ değeri için $(n+2)a_n=na_{n+1}$ olarak tanımlanmıştır. Buna göre, $a_1+a_2+ \cdots +a_{31}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 176  \qquad\textbf{b)}\ 179  \qquad\textbf{c)}\ 181  \qquad\textbf{d)}\ 187  \qquad\textbf{e)}\ 192$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n+2}{n}$ biçiminde yazıp $n=1,2,\dots, N-1$ için taraf tarafa çarparsak, oluşan teleskopik çarpımdan $\dfrac{a_N}{a_1} = \dfrac{3}{1}\cdot \dfrac{4}{2}\cdot \dfrac{5}{3} \cdots \dfrac{N}{N-2}\cdot \dfrac{N+1}{N-1} = \dfrac{N(N+1)}{2}$ olup

$$ a_n = \dfrac{n^2 + n}{62} $$

elde edilir. İstenen toplam
$$ a_1 + a_2 + \cdots + a_{31} = \dfrac{1}{62}\sum_{n=1}^{31} (n^2 + n) = \dfrac{1}{62}\left( \dfrac{31\cdot 32\cdot 63}{6} + \dfrac{31\cdot 32}{6}\right) = 176 $$
bulunur.