Yanıt: $\boxed{E}$
Öğrencileri $1$ den $31$ e kadar, saatin dönme yönünde numaralandırmış olalım. Seçilen üç öğrencinin numaraları saatin dönme yönüne göre sırasıyla $a, b, c$ olsun. $a=1$ olduğunu varsayalım. $a=1$ ile $b$ arasında $x_1$ tane öğrenci, $b$ ile $c$ arasında $x_2$ tane öğrenci, $c$ ile $a=1$ arasında $x_3$ tane öğrenci olsun. $x_1 + x_2 + x_3 = 31-3 = 28$ dir. $x_i \geq 4$ olduğundan $x_i = y_i + 4$ dönüşümü yaparsak
$$ y_1 + y_2 + y_3 = 28 - 3\cdot 4 = 16 $$
denklemini negatif olmayan tam sayılarda çözmeliyiz. Dağılım prensibinden dolayı $\dbinom{18}{2}$ tane $(y_1, y_2, y_3)$ üçlüsü bulunur.
Şimdi $a=1,2, \dots , 31$ değerlerini alabileceğinden bu sayıyı $31$ ile çarparak $31\cdot \dbinom{18}{2}$ elde ederiz. Öte yandan, saatin dönme yönünde seçilen numaralar $a, b, c$; $b,c,a$; $c,a,b$ iken aynı öğrenciler seçilmiş olacaktır. Dolayısıyla elde ettiğimiz sayıyı $3$ ile bölmeliyiz. Böylelikle
$$ \dfrac{31}{3}\cdot \dbinom{18}{2} = 1581 $$
sonucuna ulaşırız.
Notlar:
$\bullet$ Dairesel olarak dizilmiş $n$ farklı nesneden $m$ tanesinin seçimi, herhangi iki seçilmiş ardışık nesne arasında en az $k$ tane seçilmemiş nesne bulunması koşuluyla
$$ \dfrac{n}{m}\dbinom{n-km-1}{m-1} $$
yolla yapılabilir. Elbette kombinasyonun pozitif bir tam sayı üretebilmesi için $n\geq km + m$ olmalıdır. $n< km+m$ iken istenen şekilde bir seçim mümkün olmadığı için, yanıt $0$ olacaktır. Dairesel dağılım ismini verebileceğimiz bu problem, Cayley Problemi olarak bilinir.
$\bullet$ Uzun süredir "Acaba Ulusal Matematik Olimpiyatları'nda ne zaman sorulur?" diye beklediğim bir problemdir, Cayley Problemi. 1993'te düzenlenen 1. UMO'dan günümüze kadar olan sürede ilk kez 2023'te Cayley Problemi soruldu. Ayrıca, ilki 1996'da yapılan Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatlarında da Cayley Problemi ilk kez 2023'te soruldu. Yani bu yıl, ülkemizdeki iki önemli olimpiyat sınavında Cayley Problemi ile karşılaşmış olduk.
