Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 06

[matematikolimpiyati]

$(3m+4n)(4m+3n)=3^{63}$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 44  \qquad\textbf{b)}\ 64  \qquad\textbf{c)}\ 88  \qquad\textbf{d)}\ 128  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$a+b=63$ olmak üzere $3m+4n=3^a$ ve $4m+3n= 3^b$ olacak şekilde $a$, $b$ negatif olmayan tam sayılarını araştıralım. Denklemleri toplayalım ve $a>b$ ise $7(m+n)=3^a + 3^b = 3^b(3^{a-b} + 1)$ biçiminde yazalım. Eğer $a<b$ ise $7(m+n)=3^a + 3^b = 3^a(3^{b-a} + 1)$ biçiminde yazalım. $m+n$ nin bir tam sayı olmasını istiyoruz. Bu durumda, $4m+3n$ de bir tam sayı olduğundan, $m$ ve $n$ birer tam sayı olacaktır.

$\bullet$ $a>b$ durumunda $c=a-b$ diyelim ve $3^c + 1\equiv 0 \pmod{7}$ olur. $3^3 \equiv -1 \pmod{7}$ ve $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$ olduğundan $c=3+6k$ şeklindedir. $k=0,1,2,\dots,10$ için $c=3,9,15,\dots,63$ değerlerini alır. Buna karşılık $a>b$ doğal sayı değerleri vardır. $(a,b) = (33,30), (36,27), (39,24),\dots, (63,0)$ biçiminde $11$ çözüm bulunur.

$\bullet$ $a<b$ durumunda $c=b-a$ diyelim. Yine $3^c + 1\equiv 0 \pmod{7}$ olur. $3^3 \equiv -1 \pmod{7}$ ve $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$ olduğundan $c=3+6k$ şeklindedir. Benzer şekilde $(a,b) = (30,33), (27,36), (24,39),\dots, (0,63)$ biçiminde $11$ çözüm bulunur.

$\bullet$ Son olarak, $3m+4n=-3^a$ ve $4m+3n= -3^b$ negatif çarpan biçimlerini de düşünürsek, benzer biçimde $22$ çözüm daha elde ederiz.

Toplamda $44$ tane $(m,n)$ tam sayı ikilisi elde edilir.

[idensu]

çözüm güzel bende bir katkıda bulunayım. (3n+4m).(3m+4n) fonksiyonu simetrik olduğundan bulunan 11 tane (m,n) çözüm ise (n,m) 11 tane daha çözümdür. o yüzden a<b kabulü ile bulunan çözüm sayısı 11 olduğundan a>b için alınmasa da olurdu 

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$(m,n)$ çözümse $(-m,-n)$ de çözüm olacağından sadece $3m+4n>0$ olduğu durumları inceleyelim. Eğer $x\in\mathbb{Z}$ ve $0\leq x\leq 63$ için için $3m+4n=3^x$ ve $4m+3n=3^{63-x}$ dersek $$\begin{pmatrix}3&4\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3^x\\3^{63-x}\end{pmatrix}$$ olur. $R_i$ ile $i.$ satırı gösterirsek, $R_2\to 4R_1-3R_2$ dönüşümü yaparsak, $$\begin{pmatrix}3&4\\0&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3^x\\4\cdot 3^x-3^{64-x}\end{pmatrix}$$ Şimdi de $R_1\to 7R_1-4R_2$ dönüşümü yaparsak, $$\begin{pmatrix}21&0\\0&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3^{x+2}+4\cdot 3^{64-x}\\4\cdot 3^x-3^{64-x}\end{pmatrix}\implies \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}-3^{x+1}+4\cdot 3^{63-x}\\4\cdot 3^x-3^{64-x}\end{pmatrix}$$ Dolayısıyla $m-n=\frac{1}{7}\left(-7\cdot 3^x+7\cdot 3^{63-x}\right)=3^{63-x}-3^x$ olduğundan sadece $m$'nin tamsayı olması yeterlidir. Yani $$4\cdot 3^{63-x}-3^{x+1}\equiv -3^{64-x}-3^{x+1}\equiv 0\pmod{7}\implies -3^{x+1}\equiv 3^{64-x}\pmod{7}$$ olmalıdır. Basit bir kontrol ile $3$'ün $7$ modundaki mertebesinin $6$ olduğu görülebilir (sadece $2$ ve $3$'üncü kuvvetleri kontrol etmemiz yeterlidir). Buradan $$-3^{x+1}\equiv 3^{64-x}\pmod{7}\iff 3^{3}\cdot 3^{x+1}\equiv 3^{x+4}\equiv 3^{64-x}\pmod{7}\iff x+4\equiv 64-x\pmod{6}$$ $$\iff 2x\equiv 0\pmod{6}\iff x\equiv 0\pmod{3}$$ bulunur.

$0\leq x\leq 63$ olduğundan $x$'in alabileceği değerler $0,3,6,9,\dots,63$ olup toplamda $\frac{63-0}{3}+1=22$ çözüm bulunur. $(-m,-n)$ şeklindeki çözümleri de eklersek $44$ çözüm olacaktır.