Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 22

[matematikolimpiyati]

$ABC0CBA$ yedi basamaklı doğal sayısı $7$ ile tam bölünüyorsa $B00CA0$ altı basamaklı doğal sayısının $7$ ile bölümünden kalanın alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{A}$

$ABC0CBA$ sayısı verilen ondalık formdan faydalanılarak mod $7$'de incelenirse $A+3B+2C-0-3C-2B+A≡2A+B-C\equiv 0 \pmod 7$ olduğu görülür. $B00CA0$ sayısı verilen ondalık formdan faydalanılarak mod $7$'de sadeleştirilebilir. $B00CA0\equiv 3A-2B+2C\equiv -2(2A+B-C)+7A\equiv -2\cdot 0+0\equiv 0 \pmod 7$ olduğu görülebilir. Demek ki verilen sayı mod $7$'de bir tek 0 kalanını alabiliyor.