Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 23

[matematikolimpiyati]

$A$ ve $B$ koşucuları yuvarlak bir pistte aynı noktadan aynı yöne doğru koşmaya başlıyorlar. $B$ nin hızı $A$ nınkinden $\% 45$ fazladır. Bu pist üzerinde iki koşucunun aynı anda bulunduğu kaç farklı nokta vardır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 25  \qquad\textbf{e)}\ 60$

[vedatde]

A koşucunun hızı a ve B koşucunun hızı da b olsun. B nin hızı A nın hızından %45 daha fazladır.
$b=1.45a$
Pistin çevresi c kadar olsun. Aynı anda aynı yöne doğru koşuyorlarsa aralarındaki uzaklık bir t anında
$1.45at-at=0.45at=\frac{9}{20}at$ olur.  Bu değerden pistin çevresinin m tamsayı katını atalım. Geriye kalan değerde 0 olduğunda aynı noktadadırlar.
$\frac{9}{20}at-mc=0$    olur.
$at=\frac{20mc}{9}\ $     
A koşucusunun her aynı noktada bulundukları andaki aldığı yol
$x=at=\frac{20mc}{9}=2mc+\frac{2mc}{9}\ $   
Seçilecek m tamsayı değerlerine göre de pistin çevresinin tam katlarını atalım. Önce 2mc yi atalım.
m=0 dan m=8 kadar x değerlerini bulalım c nin katları atılacaktır. Diğer m değerlerinde periyodik olarak aynı değerleri vermektedir.
$0\ ,\ \frac{2c}{9}\ ,\ \ \frac{4c}{9}\ ,\frac{6c}{9}\ ,\ \ \frac{8c}{9},\ \frac{c}{9}\ ,\ \ \frac{3c}{9},\ \frac{5c}{9}\ ,\ \ \frac{7c}{9}\ $  olmak üzere 9 farklık değer alır.