Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 13

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınıyor. $AP \cap BC = \{D\}$ ve $BP \cap AC = \{E\}$ olmak üzere, $|BD|=|DC|$ ve $|AP|=4|PD|$ ise $\dfrac{Alan(APB)}{Alan(PEC)}$ oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac52  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac83  \qquad\textbf{e)}\ 3$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Soruda belirtilen üçgeni çizer ve P noktası ile C noktasını birleştiren bir doğru parçası çizer isek ortak yükseklik ve taban oranları ile alan oranı yapabiliriz. APB üçgeni ve PBD üçgenin yükseklikleri aynı olduğundan A(APB)/A(PBD) = 4 diyebiliriz. A(APB) = 4S ve A(PBD) = S olsun. Ayrıca, PBD üçgeni ile PDC üçgeni eş yüksekliğe sahip olduklarından ve AD kenarortay olduğundan A(PDC)= S olmalıdır. Şimdi tam üçgene bakarsak A(APB)= 4S idi ve A(PBC)= S+S= 2S dir.O zaman AC kenarında gördükleri kenarlar da alanları ile doğru orantılı olacağından |AE|=2.|EC| diyebiliriz. Şimdi AD, ABC üçgenin kenarortayı olduğundan A(APC) = 4S dir ve |AE|=2.|EC| ise A(APE)=8S/3 ve A(PEC)= 4S/3 olmalıdır. Soruda sorulan A(APB)/A(PEC) = 4S/(4S/3) = 3 tür. Cevabımız E dir.