Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2023 Soru 4

[matematikolimpiyati]

Salyangoz Turbo çevresi $1$ birim olan bir çemberin üzerindeki bir noktada oturmaktadır. $c_1,c_2,c_3,...$ sonsuz pozitif reel sayı dizisi verildiğinde, Turbo çember üzerinde sırasıyla $c_1,c_2,c_3,...$ birim uzunluğunda mesafeleri, her seferinde saat yönü veya saat yönünün tersi istikametlerinden birini seçip o yönde sürünerek kat ediyor.

Örneğin, $c_1,c_2,c_3,...$ dizisi $0.4,0.6,0.3,...$ şeklinde ise, Turbo sürünmeye örnekteki gibi başlayabilir :

Aşağıdaki koşulu sağlayan en büyük $C>0$ sabit sayısını belirleyin :

Her $i$ değerinde $c_i<C$ koşulunu sağlayan tüm $c_1,c_2,c_3,...$ pozitif reel sayı dizileri için, Turbo (bu diziyi inceledikten sonra) çember üzerinde hiç uğramadığı veya üzerinden geçmediği bir nokta bulunmasını garantileyebilir.

[Metin Can Aydemir]

$\boxed{C=\frac{1}{2}}$

Eğer $C=\frac{1}{2}$ ise başlangıç noktasına $A$ ve $A$'nın tam karşısına ($\frac{1}{2}$ birim uzağındaki) $B$ diyelim. Genelliği bozmadan $c_1$'i saat yönünde ilerlesin. Yeni bulunduğu noktanın $B$'ye uzun olan yaydaki uzaklığı $\frac{1}{2}$'den fazla olduğundan, $c_2$'yi uzun yayın bulunduğu yönde ilerler ($c_2$ için bu saat yönünün tersi olacaktır). Yine $c_2$'nin de $B$'ye olan uzaklığı bir yönde $\frac{1}{2}$'den büyük veya eşit olacaktır. O yönde $c_3$'ü ilerleterek $B$'ye asla gitmemeyi garanti eder. İki yönde de $\frac{1}{2}$ uzaklıktaysa da istediği yönde gidebilir.

Bu yöntemle $C=\frac{1}{2}$ için kesinlikle $B$'ye uğramamayı garanti edebilir. Şimdi $C>\frac{1}{2}$ için çelişki elde edilecek bir dizi elde etmeye çalışalım. $\epsilon>0$ için $C=\frac{1}{2}+2\epsilon$ olsun. Tek $n$'ler için $c_n=\frac{1}{2}+\epsilon$ ve çift $n$'ler için $c_n=\frac{1}{2}-\epsilon$ dizisini alalım. Genelliği bozmadan $A$'dan saat yönünün tersinde hareket etmeye başlasın. Bu durumda $B$'den, sağ tarafından, $\epsilon$ birim uzaklıkta olacaktır. $c_2$'yi saat yönünün tersinde hareket edemez çünkü bu durumda tüm noktalardan geçmiş olur. Yani $c_2$ birim, saat yönünde hareket edilmelidir. Bu durumda da $A$'nın solunda $2\epsilon$ uzaklıkta kalacaktır. Bundan sonraki her terim için bir önceki hamlesinin tersinde yürümelidir. Aksi taktirde $c_{n}+c_{n+1}=1$ olduğundan tüm noktaları gezmiş olur.

Her iki adımda attığı konumları gözlemlersek, önceki konumundan saat yönünün tersinde $2\epsilon$ birim uzakta olduğunu görürüz. Dolayısıyla $\frac{1}{2\epsilon}$'dan daha fazla hamle atıldığında tüm çember gezilmiş olacaktır. Bu da $C>\frac{1}{2}$ için Turbo'nun çember üzerinde hiç uğramadığı nokta bulunmasını garantileyemediği anlamına gelir. Yani $C$'nin en büyük değeri $\frac{1}{2}$'dir.