Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin bir uygulaması olan Sedrakyan lemmasını, veya Türkiye'de bilinen adıyla faydalı eşitsizliği uygularsak, $$\dfrac{a_0^2}{a_1}+\dfrac{a_1^2}{a_2}+...+\dfrac{a_{99}^2}{a_{100}} \geq \frac{(a_0+a_1+\cdots+a_{99})^2}{a_1+a_2+\cdots+a_{100}}$$ olacaktır. $a_1+a_2+\cdots+a_{99}=A>0$ dersek, ispatlamamız gereken eşitsizlik $$\frac{(A+1)^2}{A+a_{100}}\geq \frac{(A+1)^2}{A+\frac{1}{2^{100}}}\geq 4\left(1-\frac{1}{2^{100}}\right)$$ haline gelir. $$\frac{(A+1)^2}{A+\frac{1}{2^{100}}}\geq 4\left(1-\frac{1}{2^{100}}\right)\iff (A+1)^2\geq 4(1-2^{-100})(A+2^{-100})$$ $$\iff A^2+2(2^{-99}-1)A+1-2^{-98}+2^{-198}=(A+2^{-99}-1)^2\geq 0$$ olur ve doğrudur. Dolayısıyla ana eşitsizlik de doğrudur.
b şıkkı için eşitlik durumunun sağlanması için $A=1-2^{-99}$ olmalıdır. Ayrıca baştaki Sedrakyan lemmasının da eşitlik durumu sağlanmalıdır. Yani oranlar eşit olmalıdır, dolayısıyla $$\frac{a_0}{a_1}=\frac{a_1}{a_2}=\cdots=\frac{a_{99}}{a_{100}}=k\implies \frac{a_0}{a_1}\cdot\frac{a_1}{a_2}\cdots\frac{a_{99}}{a_{100}}=\frac{a_0}{a_{100}}=2^{100}=k^{100}\implies k=2$$ olacaktır. Dolayısıyla $i=1,2,\dots,99$ için $a_i=2^{-i}$ olacaktır. Aradığımız sayılar $$\boxed{(a_0,a_1,a_2,\dots,a_{100})=(1,2^{-1},2^{-2},\dots, 2^{-100})}$$ olacaktır.
