Antalya 2013/8 Benzeri

[geo]

$\angle A=120^\circ$ olan $ABC$ üçgeninde iç teğet çember $BC$ ye $D$ de dokunmaktadır. $2\cdot BD = CD = 2$ ise $|BC|^3+|AC|^3-|AB|^3$ kaçtır?

[AtakanCİCEK]

İç teğet çemberin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla $E$ ve $F$ olsun. İç teğet çemberin özelliği gereği $|BD|=|BE|=1$ , $|CD|=|CF|=2$ $|AE|=|AF|$ olur. $|AE|=x$ diyelim ve $ABC$ üçgeninde $A$ açısına göre kosinüs teoremi yazalım.
$$3^2=(x+1)^2+(x+2)^2-2(x+1)(x+2) \cos120$$
$$9=(x+1)^2+(x+2)^2+(x+1)(x+2)$$ elde edilir. $|BC|^3=27$ olduğunu not edelim ve $|AC|^3-|AB|^3$ ifadesini $x$ cinsinden düzenleyelim.
$$|AC|^3-|AB|^3=(x+2)^3-(x+1)^3=[(x+2)-(x+1)] [(x+2)^2+(x+1)(x+2)+(x+1)^2]=9$$ Buradan da soruda istenen ifade
$$27+9=36$$ olarak elde edilir.