2003 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ pozitif tam sayıları için
$$\left(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \right) +\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right)$$
ifadesi bir tam sayı olsun. Bu takdirde $x$ ve $y$'nin OBEB'inin $\sqrt{x+y}$ sayısından büyük olamayacağını gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Öncelikle $\text{ebob}(x,y)=d$ diyelim ve $x=ad$, $y=bd$ olacak şekilde $\text{ebob}(a,b)=1$ pozitif tamsayıları alalım. İspatlamaya çalıştığımız eşitsizlik $$\sqrt{x+y}\geq \text{ebob}(x,y)\iff a+b\geq d$$ olacaktır. Tamsayı olduğunu bildiğimiz ifade ise $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$$ olacaktır. Payda eşitlersek, $$\frac{a^2d+b^2d+a+b}{abd}\in \mathbb{Z}\implies d\mid a+b$$ elde edilir. Buradan da $d\leq a+b$ elde edilir.