Verilen denklemlerden $z\mid xy+1$, $x\mid yz+1$ ve $y\mid xz+1$ elde edilir. $x,y,z$'nin ikişerli aralarında asal olduğu barizdir. Şimdi terimlere bakalım, $$x\mid yz+1\implies x\mid xy+xz+yz+1$$ $$y\mid xz+1\implies y\mid xy+xz+yz+1$$ $$z\mid xy+1\implies z\mid xy+xz+yz+1$$ olur. $x,y,z$ aralarında asal olduğundan $$xyz\mid xy+xz+yz+1$$ elde edilir. Şimdi $xyz>xy+xz+yz$ olduğunu gösterelim. Aksini kabul edelim ve $xyz\leq xy+xz+yz$ diyelim. Genelliği bozmadan $x>y>z$ dersek (aralarında asal olduğundan eşit olamazlar), $$xyz\leq xy+xz+yz\implies xyz<xy+2xz\implies yz< y+2z\implies yz-y-2z+2=(y-2)(z-1)<2$$ elde edilir. $z\geq 2$ ve $y\geq 3$ olduğundan $(y-2)(z-1)<2$ olmasının tek yolu $(y,z)=(3,2)$ olmasıdır ancak yerine yazarsak $x\mid 7$ olacağından $x=7$ bulunur. Ancak bu durumda $xyz\leq xy+xz+yz$ olmaz. Çelişki elde ederiz, $xyz>xy+xz+yz$ olmalıdır. $$xyz\mid xy+xz+yz+1\implies xyz=xy+xz+yz+1$$ elde edilir. $x>y>z\geq 2$ kabulüne devam edelim. $$1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}<\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\implies z^3<3z^2+1$$ elde edilir. $z\geq 4$ için çelişki elde edilir.
$z=3$ ise $x>y\geq 4$ olacağından $$\frac{2}{3}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3xy}< \frac{2}{y}+\frac{1}{3y^2}\implies 2y^2< 6y+1$$ elde edilir ancak $y\geq 4$ için $2y^2\geq 6y+1$ olduğundan çelişki elde ederiz.
$z=2$ ise $x>y\geq 3$ ve $$\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}<\frac{2}{y}+\frac{1}{2y^2}\implies y^2<4y+1\implies y\leq 4$$ elde edilir. $y=4$ yazarsak, $x$ tamsayı çıkmayacağından çözüm bulamayız. $y=3$ olmalıdır. Yerine yazarsak $x=7$ elde edilir. Yani $(x,y,z)=(7,3,2)$ veya permütasyonlarıdır.
Yerine yazarsak $(a,b,c)=(11,1,5)$ elde edilir. Dolayısıyla $a,b,c$'nin en büyüğü $11$'dir.
