Balkan Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$O,\ ABCD$ konveks dörtgeninin içinde bir nokta olmak üzere,
$$OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2 = 2 \cdot Alan(ABCD)$$
eşitliği sağlanıyor. İspatlayınız ki $ABCD$ bir karedir ve $O$ noktası karenin merkezidir.

(Yugoslavya)

[geo]

$\dfrac{OA^2+OB^2}2 \geq \sqrt{OA\cdot OB} \geq \sqrt{OA\cdot OB} \cdot \sin \angle AOB =2[AOB]$

$\dfrac{OB^2+OC^2}2 \geq 2[BOC]$

$\dfrac{OC^2+OD^2}2 \geq 2[COD]$

$\dfrac{OD^2+OA^2}2 \geq 2[DOA]$

eşitsizliklerini taraf tarafa toplarsak $OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\geq 2[ABCD]$ elde ederiz.
Eşitlik durumu $OA=OB=OC=OD$ ve $\angle AOB = \angle BOC =\angle COD = \angle DOA= 90^\circ$ iken sağlanır. Bu da $O$ yu çevrel merkez ve $ABCD$ yi kare yapar.