1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$x,y,z,t$ reel sayılar ve $1 \leq x\leq y \leq z \leq t \leq 100$ olmak üzere,
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{t}$$
ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm [Lokman GÖKÇE]: Aranan en küçük değer $\dfrac{1}{5}$ tir.
$\dfrac{z}{y}\geq 1$ ve $\dfrac{x}{t}\geq \dfrac{1}{100}$ olduğunu göz önüne alarak aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği uygularsak,
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{t} \geq 2 \sqrt{\dfrac{xz}{yt}} \geq 2  \sqrt{\dfrac{1}{100}} = \dfrac{1}{5}$$
elde edilir.  Eşitlik durumu, $x=1$, $t=100$, $y=z$ iken sağlanır.