1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$15x^2-7y^2=9$ denkleminin tam sayılarda hiç çözümünün bulunmadığını gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm [Lokman GÖKÇE]: $15x^2 - 7y^2 = 9$ denklemini modülo $5$ içinde inceleyelim. $-7y^2 \equiv 9 \pmod{5}$ denkliğinden $y^2 \equiv 3 \pmod{5}$ bulunur. Öte yandan $\{0, \mp 1, \mp 2\}$ sayılarının karelerini alırsak modülo $5$ içinde elde edilebilecek tüm kalanların kümesi $\{ 0, 1, 4 \}$ tür. Yani $y^2 \not \equiv 3 \pmod{5}$ tir. Dolayısıyla verilen denklemin tam sayılar kümesinde çözümü yoktur.