1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$x_1=0$ ve her $n \in \mathbb N$ için
$$x_{n+1}=5x_n+\sqrt{24x_n^2+1}$$
ile tanımlanan dizinin ikinciden itibaren tüm terimlerinin doğal sayılar olduğunu kanıtlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Verilen eşitliği düzenleyelim, $$x_{n+1}-5x_n=\sqrt{24x_n^2+1}\implies x_{n+1}^2+25x_n^2-10x_nx_{n+1}=24x_n^2+1$$ $$\implies x_{n+1}^2-10x_nx_{n+1}+x_n^2=1$$ Elde edilir. $n$ yerine $n+1$ yazıp, eşitlikleri taraf tarafa çıkartalım, $$x_{n+2}^2-10x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+1}^2=x_{n+1}^2-10x_nx_{n+1}+x_n^2$$ $$\implies x_{n+2}^2-x_n^2=10x_{n+1}(x_{n+2}-x_n)$$ $$\implies (x_{n+2}-x_n)(x_{n+2}+x_{n}-10x_{n+1})=0$$ elde edilir. İndirgemeli dizinin formülü incelenirse $x_n\geq 0$ olduğu kolayca görülebilir. Buradan da $$x_{n+1}-x_n=4x_n+\sqrt{24x_n^2+1}>0$$ olacağından dizi artandır. Buradan da $x_{n+2}-x_{n}\neq 0$ olur. Sonuç olarak $$x_{n+2}=10x_{n+1}-x_n$$ elde edilir. $x_0=0$ ve $x_1=1$ olduğundan ve dizi artan olduğundan $n\geq 1$ için $x_n$ terimi pozitif bir tamsayıdır.