Öncelikle çok bilinen bir soru tipinin çözümünü verelim.
Soru: Bir çembere $S$ noktasından çizilen teğetler çembere $Q$ ve $R$ noktalarında değsin. $QR$ küçük yayı üzerinde alınan $P$ noktasından $QR$, $SR$ ve $SQ$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $X$, $Y$, $Z$ ve uzunlukları sırasıyla $x$, $y$, $z$ olsun. $$x^2 = yz$$ olduğunu gösteriniz.
Çözümlerden birini verelim:$PXQZ$ ve $PXRY$ kirişler dörtgenidir.
$\angle ZXY = \angle ZQP = \angle QRP = \angle XYP$ ve $\angle XPZ = 180^\circ - \angle SQR = 180^\circ - \angle SQR = \angle YPX$ olduğu için $\triangle XYP \sim \triangle ZXP$. Benzerlik oranlarından $$\dfrac{YP}{PX} = \dfrac{XP}{PZ}$$ $\blacksquare$
Sorumuza geri dönersek:
$ABC$ eşkenar üçgen, $D$ ve $E$ sırasıyla $AB$ ve $AC$ nin orta noktaları olsun.
$P$ noktası içteğet çemberin $DE$ küçük yayı üzerinde bir nokta olsun.
$P$ den sırasıyla $DE$, $AC$, $AB$ ve $BC$ ye inilen dikmelerin ayakları $X$, $Y$, $Z$, $W$; uzunlukları $x$, $y$, $z$, $w$ olsun.
$ADE$ eşkenar üçgen olduğu için $x+y+z$ toplamı $ADE$ üçgeninin yüksekliğini verecektir. Bu durumda yukarıdaki sorudan $x^2 = yz$ ve $w = 2x+y+z$ olacaktır.
Biraz düzenlemeyle $w = 2\sqrt {yz} + y + z = (\sqrt y + \sqrt z)^2$ elde ederiz.
Bizden istenen
- $y=4, z=25$ iken $w=?$
- $y=4, w=25$ iken $z=?$
1. soru için $y$ ve $z$ verildiğinde $w = (\sqrt 4 + \sqrt {25})^2 = 49$.
2. soru için $y$ ve $w$ verildiğinde $25 = (\sqrt 4 + \sqrt z)^2 \Rightarrow z = 9$.
