2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 22

[matematikolimpiyati]

$x$  bir reel (gerçel) sayı olmak üzere$,$

             $a=\dfrac{4x}{3}-\dfrac{1}{x},\quad b=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{3},\quad c=x-\sqrt3$    ve    $d=x^2-3\sqrt3$

sayılarından tam olarak $3$ tanesi rasyonel sayıdır. Buna göre $d$  kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{9}{4}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{21}{4}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{17}{4}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 2-3\sqrt3$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Öncelikle $b=\frac{3-x^2}{3x}$ ve $a=\frac{4x^2-3}{3x}$'in ikisininin birden rasyonel olduğu durumu inceleyelim. $$4b+a=\frac{12-4x^2+4x^2-3}{3x}=\frac{3}{x}$$ rasyonel olmalıdır. Buradan $x$ rasyonel bulunur ama $c$ ve $d$'nin ikisi de rasyonel olamaz. Bu bir çelişkidir.

Yani $a$ veya $b$'den biri irrasyonel olmalıdır. Dolayısıyla $c$ ve $d$ rasyoneldir. $x=c+\sqrt{3}$ olduğundan $$d=x^2-3\sqrt{3}=(c+\sqrt{3})^2-3\sqrt{3}=c^2+2c\sqrt{3}+3-3\sqrt{3}=(c^2+3)+(2c-3)\sqrt{3}$$ rasyonel olması için $c=\frac{3}{2}$ olmalıdır. Buradan $d=c^2+3=\frac{21}{4}$ elde edilir.