Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 32

[matematikolimpiyati]

$\{1,2,4,5,6,8,9,10,11\}$ kümesinin$,$ elemanları arasında iki ardışık sayı bulunmayan $4$ elemanlı alt kümelerinin sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 26  \qquad\textbf{b)}\ 29  \qquad\textbf{c)}\ 42  \qquad\textbf{d)}\ 78  \qquad\textbf{e)}\ 126$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Elemanları küçükten büyüğe sıralayıp sayalım:

$\{1, 4, 6, x \}$ şeklinde $4$ tane, $\{1, 4, 8, x \}$ şeklinde $2$ tane, $\{1, 4, 9, 11 \}$ şeklinde $1$ tane,

$\{1, 5, 8, x \}$ şeklinde $2$ tane, $\{1, 5, 9, 11 \}$ şeklinde $1$ tane,

$\{1, 6, 8, x \}$ şeklinde $2$ tane, $\{1, 6, 9, 11 \}$ şeklinde $1$ tane,

yani $\{1, x, y, z \}$ şeklinde toplamda $13$ altküme vardır.

$\{2, x, y, z \}$ şeklinde de $13$ altküme vardır.

$\{4, 6, 8, x\}$ şeklinde $2$ tane, $\{4,6, 9, 11\}$ şeklinde $1$ tane altküme vardır.

O halde, iki ardışık sayı içermeyen $4$ elemanlı altkümelerin sayısı $13+13+3 = 29$ dur.