Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 27

[matematikolimpiyati]

$|AB|=12$  olmak üzere$,\ [AB]$  çaplı çemberin $|AC|=8$  koşulunu sağlayan $[AC]$  kirişi çiziliyor. Bu çemberin $C$  noktasından geçen teğetine$,\ B$  noktasından indirilen dikmenin ayağı $D$  ise $BDC$  üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{80\sqrt5}{9}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{48\sqrt5}{5}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{60\sqrt3}{7}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{56\sqrt3}{5}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{75\sqrt2}{4}$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$.

Teğet kiriş açıdan $\angle BAC = \angle BCD = \alpha$.

$BC=AB\sin \alpha$, $CD=BC\cos\alpha$, $BD=BC\sin \alpha$.

$[BDC]=\dfrac 12\cdot AB^2 \cdot \sin^3\alpha \cos \alpha$.

$\cos \alpha = \dfrac {AC}{AB}=\dfrac 8{12}=\dfrac 23$ ve $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt 5}{3}$ eşitliklerini yerine yazarsak  $[BDC]=\dfrac 12\cdot 12^2 \cdot \left ( \dfrac{\sqrt 5}3 \right )^3 \cdot \dfrac 23 = \dfrac{80\sqrt 5}9$.